Question

2．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足$\overrightarrow{a}$=（-2sinx，$\sqrt{3}$（cosx+sinx）），$\overrightarrow$=（cosx，cosx-sinx），函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$（x∈R）．
（Ⅰ）求f（x）在x∈[-$\frac{π}{2}$，0]時的值域；
（Ⅱ）已知數(shù)列a_n=n²f（$\frac{nπ}{2}$-$\frac{11π}{24}$）（n∈N⁺），求{a_n}的前2n項和S_2n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用平面向量數(shù)量積的運算，三角函數(shù)中的恒等變換應用可求解析式f（x）=2sin（2x+$\frac{2π}{3}$），由x∈[-$\frac{π}{2}$，0]，可求2x+$\frac{2π}{3}$的范圍，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求值域．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）可得a_n=2n²sin（n$π-\frac{π}{4}$），可求得S_2n=$\sqrt{2}$[1²-2²+3²-4²+…+（2n-1）²-（2n）²]，利用（2n-1）²-（2n）²=-4n+1，由等差數(shù)列的求和公式即可得解．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=-sin2x+$\sqrt{3}$cos2x=2sin（2x+$\frac{2π}{3}$），
當x∈[-$\frac{π}{2}$，0]時，2x+$\frac{2π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，
可得：2sin（2x+$\frac{2π}{3}$）∈[-$\sqrt{3}$，2]…4分
（Ⅱ）∵a_n=n²f（$\frac{nπ}{2}$-$\frac{11π}{24}$）=2n²sin[2（$\frac{nπ}{2}$-$\frac{11π}{24}$）+$\frac{2π}{3}$]=2n²sin（n$π-\frac{π}{4}$），
∴S_2n=$\sqrt{2}$[1²-2²+3²-4²+…+（2n-1）²-（2n）²]，
又∵（2n-1）²-（2n）²=-4n+1，
∴解得：S_2n=$\sqrt{2}$×$\frac{（-3-4n+1）n}{2}$=$\sqrt{2}$（-2n²-n）…10分

點評 本題主要考查了平面向量數(shù)量積的運算，三角函數(shù)中的恒等變換應用，數(shù)列的求和，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基本知識的考查．