Question

1．已知函數(shù)f（x）=log_a$\frac{x+1}{1-x}$，解答下列問題：
（1）求定義域；
（2）判斷奇偶性；
（3）設(shè)a＞1，求當(dāng)f（x）＞0時(shí)實(shí)數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）解不等式$\frac{x+1}{1-x}$＞0可得函數(shù)的定義域；
（2）由對數(shù)的運(yùn)算可得f（-x）+f（x）=0，即f（-x）=-f（x），可判原函數(shù)為奇函數(shù)；
（3）原不等式可化為$\frac{x+1}{1-x}$＞1，解不等式可得．

解答 解：（1）由題意可得$\frac{x+1}{1-x}$＞0，解得-1＜x＜1，
∴函數(shù)f（x）=log_a$\frac{x+1}{1-x}$的定義域?yàn)椋?1，1）；
（2）由（1）可得函數(shù)的定義域?yàn)椋?1，1）；
又f（-x）+f（x）=log_a$\frac{-x+1}{1+x}$+log_a$\frac{x+1}{1-x}$
=log_a（$\frac{-x+1}{1+x}$•$\frac{x+1}{1-x}$）=log_a1=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴原函數(shù)為奇函數(shù)；
（3）當(dāng)a＞1時(shí)f（x）＞0即$\frac{x+1}{1-x}$＞1，
∴$\frac{x+1}{1-x}$-1＞0，∴$\frac{2x}{x-1}$＜0，
解得0＜x＜1，∴實(shí)數(shù)x的取值范圍為（0，1）

點(diǎn)評 本題考查對數(shù)函數(shù)的定義域和奇偶性，涉及不等式的解集，屬基礎(chǔ)題．