Question

下列說法中：
①集合A={x|mx²-4x+4=0}中只有一個元素，則m=1；
②若f（x）=ax²+（2a+b）x+2（其中x∈[2a-1，a+4]）是偶函數(shù)，則實數(shù)b=2；
③已知函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，則f(

1-x2

)的單調(diào)遞增區(qū)間為[0，1]；
④已知f（x）是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且對任意的x，y∈R都滿足f（x•y）=x•f（y）+y•f（x），則f（x）是奇函數(shù)．
其中正確說法的序號是

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,集合

分析：求出滿足集合A={x|mx²-4x+4=0}中只有一個元素的m值，可判斷A；根據(jù)偶函數(shù)的定義和性質(zhì)，求出a，b的值，可判斷②；根據(jù)復(fù)合函數(shù)，二次函數(shù)的單調(diào)性，可判斷③；根據(jù)已知中f（x）是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且對任意的x，y∈R都滿足f（x•y）=x•f（y）+y•f（x），判斷出f（-x）=-f（x）恒成立，可判斷④．

解答： 解：對于①，集合A={x|mx²-4x+4=0}中只有一個元素，則m=0，或m≠0且△=0，即m=1，故錯誤；
對于②，f（x）=ax²+（2a+b）x+2（其中x∈[2a-1，a+4]）是偶函數(shù)，則2a+b=0，且2a-1+a+4=0，解處a=-1，b=2，故正確；
對于③，已知函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，由f(

1-x2

)的定義域為[-1，1]，在[0，1]上內(nèi)函數(shù)t=1-x²為減函數(shù)，則f(

1-x2

)的單調(diào)遞增區(qū)間為[0，1]；
對于④，已知f（x）是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且對任意的x，y∈R都滿足f（x•y）=x•f（y）+y•f（x），
令x=y=-t得：f（t²）=-tf（-t）-tf（-t），①；再令x=y=t得：f（t²）=tf（t）+tf（t），②
由①②得：-tf（-t）-tf（-t）=tf（t）+tf（t），即2t[f（t）+f（-t）]=0，
∵t不恒為0，∴f（t）+f（-t）=0，即f（x）+f（-x）=0，∴f（-x）=-f（x）．∴f（x）是奇函數(shù)，故正確；
故正確說法的序號是：②③④
故答案為：②③④

點評：本題以命題的真假判斷為載體，考查了元素的個數(shù)，函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的周期性，難度中檔．