Question

2．甲、乙兩人在罰球線投球命中的概率分別為$\frac{1}{2}$與$\frac{2}{5}$．
（1）若甲、乙兩人在罰球線各投球一次，求恰好命中一次的概率；
（2）若甲、乙兩人在罰球線各投球兩次，求這四次投球中至少一次命中的概率．

Answer 1

分析 （1）兩次投球恰好命中一次包括兩種情況，即甲能夠命中而乙不能命中，或甲不能命中而乙能夠命中，這兩種情況是互斥的．根據(jù)相互獨立事件和互斥事件的概率公式得到結(jié)果．
（2）四次投球中至少有一次命中的對立事件是四次投球一次也不能命中，首先根據(jù)相互獨立事件同時發(fā)生的概率做出一次也不能命中的概率，再用對立事件的概率公式得到結(jié)果．

解答 解：（1）依題意，記“甲投一次命中”為事件A，“乙投一次命中”為事B，
則P（A）=$\frac{1}{2}$，P（B）=$\frac{2}{5}$，P（$\overline{A}$）=$\frac{1}{2}$，P（$\overline{B}$）=$\frac{3}{5}$．
甲、乙兩人在罰球線各投球一次，恰好命中一次的事件為A$\overline{B}$+B$\overline{A}$，
P（A$\overline{B}$+B$\overline{A}$）=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{5}$+$\frac{2}{5}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，
∴甲、乙兩人在罰球線各投球一次，求恰好命中一次的概率為$\frac{1}{2}$；
（2）∵事件“甲、乙兩人在罰球線各投球二次全不命中”的概率是
P′=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{5}$×$\frac{3}{5}$=$\frac{9}{100}$，
∴甲、乙兩人在罰球線各投球二次，至少有一次命中的概率為
P=1-$\frac{9}{100}$=$\frac{91}{100}$，
∴甲、乙兩人在罰球線各投球二次，至少有一次命中的概率為$\frac{91}{100}$．

點評 本題看出相互獨立事件同時發(fā)生的概率和對立事件的概率，本題解題的關(guān)鍵是看清題目中所求的事件的概率的意義，正面來解釋比較困難，可以選擇應(yīng)用對立事件來解決．