Question

10．解關于x的不等式：①$\frac{x-1}{2x-1}≥2$；   ②（2mx-1）（x-2）＜0（m為實常數(shù)）

Answer 1

分析 ①原不等式可化為$\frac{1-3x}{2x-1}≥0$，所以有$\left\{\begin{array}{l}（2x-1）（1-3x）≥0\\ 2x-1≠0\end{array}\right.$，由此求得不等式的解集．
②對于不等式（2mx-1）（x-2）＜0，分類討論，求得它的解集．

解答 解：①原不等式可化為$\frac{x-1}{2x-1}-2≥0$，即$\frac{1-3x}{2x-1}≥0$，所以有$\left\{\begin{array}{l}（2x-1）（1-3x）≥0\\ 2x-1≠0\end{array}\right.$，
解得：$\frac{1}{3}≤x＜\frac{1}{2}$，可得不等式的解集為{x|$\frac{1}{3}$≤x＜$\frac{1}{2}$}．
②對于不等式（2mx-1）（x-2）＜0，
當m=0時，原不等式即為-（x-2）＜0解得：x＞2．
當m≠0時，原不等式可化為$2m（x-\frac{1}{2m}）（x-2）＜0$，
當m＜0時，得$（x-\frac{1}{2m}）（x-2）＞0$，解得它的解集為{x|$x＜\frac{1}{2m}或x＞2$}．
當m＞0時，原不等式可化為$（x-\frac{1}{2m}）（x-2）＜0$，
當0＜m＜$\frac{1}{4}$時，$\frac{1}{2m}$＞2，所以不等式的解集為{x|$2＜x＜\frac{1}{2m}$}；
當m=$\frac{1}{4}$時，$\frac{1}{2m}$=2，所以原不等式無解；
當m＞$\frac{1}{4}$時，可得$\frac{1}{2m}$＜2，所以不等式的解集為{x|$\frac{1}{2m}＜x＜2$}．
綜上所得：原不等式的解集為：
當m＜0時，解集為$（-∞，\frac{1}{2m}）∪（2，+∞）$；當m=0時，解集為（2，+∞）；當0＜m＜$\frac{1}{4}$時，解集為$（2＜，\frac{1}{2m}）$；
當m=$\frac{1}{4}$時，解集為φ；當m＞$\frac{1}{4}$時，解集為$（\frac{1}{2m}，2）$．

點評 本題主要考查分式不等式的解法，體現(xiàn)了等價轉化和分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．