Question

正項數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a₂=2，又{

anan+1

}是以

1

2

為公比的等比數(shù)列，則使得不等式

1

a1

+

1

a2

+…+

1

a2n+1

＞2014成立的最小整數(shù)n為

 

．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：確定數(shù)列{a_2n-1}是以a₁=1為首項，

1

4

為公比的等比數(shù)列，數(shù)列{a_2n}是以a₂=2為首項，

1

4

為公比的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的求和公式，即可求得結論．

解答： 解：∵a₁=1，a₂=2，∴

a1a2

=

2

．
又{

anan+1

}是以

1

2

為公比的等比數(shù)列
∴

anan+1

=

2

•（

1

2

）^n-1，
∴a_na_n+1=2•（

1

2

）^2n-2，∴

an+2an+1

an+1an

=

an+2

an

=

1

4

，
∴數(shù)列{a_2n-1}是以a₁=1為首項，

1

4

為公比的等比數(shù)列，
∴a_2n-1=(

1

4

)n-1，

1

a2n-1

=4^n-1，
數(shù)列{a_2n}是以a₂=2為首項，

1

4

為公比的等比數(shù)列，
∴a_2n=2•(

1

4

)n-1，

1

a2n

=

1

2

•4n-1，
∴

1

a1

+

1

a2

+…+

1

a2n+1

=（4⁰+4+4²+…+4ⁿ）+

1

2

（4+4²+…+4^n-1）
=

1-4n+1

1-4

+

1

2

×

4(1-4n-1)

1-4

=

3

2

×4n-1，
∵

1

a1

+

1

a2

+…+

1

a2n+1

＞2014，
∴

3

2

×4n-1＞2014，4 n ＞

4030

3

≈1343，
∵4⁵=1024，4⁶=4096，
∴最小整數(shù)n為6．
故答案為：6．

點評：本題考查了等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、分奇數(shù)和偶數(shù)項分別為等比數(shù)列的數(shù)列的通項公式及其前n項和公式等基礎知識與基本技能方法，屬于難題．