Question

11．已知定點(diǎn)F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），動(dòng)點(diǎn)P滿足|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|+|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=6，動(dòng)點(diǎn)P軌跡為曲線C．
（1）求曲線C的方程；
（2）若曲線C與x軸的交點(diǎn)為A₁，A₂，點(diǎn)M是曲線C上異于點(diǎn)A₁，A₂的點(diǎn)，直線A₁M與A₂M的斜率分別為k₁，k₂，求k₁k₂的值；
（3）過點(diǎn)Q（2，0）作直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)．在曲線C上是否存在點(diǎn)N，使$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{ON}$？若存在，請(qǐng)求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用橢圓的定義可得曲線C為以F₁，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)，且2a=6，即a=3，c=1，可得b，進(jìn)而得到曲線C的方程；
（2）可得A₁（-3，0），A₂（3，0），設(shè)M（m，n），代入橢圓方程，再由直線的斜率公式，化簡(jiǎn)整理即可得到所求值；
（3）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由題意知l的斜率一定不為0，故不妨設(shè)l：x=my+2．代入C的方程并整理得到根與系數(shù)的關(guān)系；假設(shè)存在點(diǎn)N，使$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{ON}$成立?點(diǎn)N的坐標(biāo)（x₁+x₂，y₁+y₂）滿足橢圓的方程．又A、B在橢圓上，即滿足橢圓的方程．可得8x₁x₂+9y₁y₂+36=0，代入解得m，即可得到點(diǎn)N的坐標(biāo)和直線l的方程．

解答 解：（1）動(dòng)點(diǎn)P滿足|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|+|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=6，
而F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）的距離為2＜6，
由橢圓的定義可得P的軌跡為以F₁，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)，
且2a=6，即a=3，c=1，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
即有曲線C的方程為$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{8}$=1；
（2）由題意可得A₁（-3，0），A₂（3，0），
設(shè)M（m，n），即有$\frac{{m}^{2}}{9}$+$\frac{{n}^{2}}{8}$=1，
又k₁=$\frac{n}{m+3}$，k₂=$\frac{n}{m-3}$，
k₁k₂=$\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}-9}$=8（1-$\frac{{m}^{2}}{9}$）•$\frac{1}{{m}^{2}-9}$=-$\frac{8}{9}$；
（3）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由題意知l的斜率一定不為0，故不妨設(shè)l：x=my+2．
代入C的方程，并整理得（8m²+9）y²+32my-40=0，顯然△＞0．
由韋達(dá)定理有：y₁+y₂=-$\frac{32m}{9+8{m}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{40}{9+8{m}^{2}}$，①
假設(shè)存在點(diǎn)N，使$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{ON}$成立，
則其充要條件為：點(diǎn)N的坐標(biāo)為（x₁+x₂，y₁+y₂），
點(diǎn)N在橢圓上，即$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}}{9}$+$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}}{8}$=1．
整理得（8x₁²+9y₁²）+（8x₂²+9y₂²）+16x₁x₂+18y₁y₂=72．
又A、B在橢圓上，即8x₁²+9y₁²=72，8x₂²+9y₂²=72，
故8x₁x₂+9y₁y₂+36=0，②
將x₁x₂=（my₁+2）（my₂+2）
=m²y₁y₂+2m（y₁+y₂）+4及①代入②，
可得（8m²+9）•（-$\frac{40}{9+8{m}^{2}}$）+16m•（-$\frac{32m}{9+8{m}^{2}}$）+68=0，
解得m²=$\frac{7}{8}$，即有y₁+y₂=±$\frac{\sqrt{14}}{2}$，x₁+x₂=4-$\frac{32{m}^{2}}{9+8{m}^{2}}$=$\frac{9}{4}$．
故存在點(diǎn)N（±$\frac{\sqrt{14}}{2}$，$\frac{9}{4}$），使$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{ON}$．
此時(shí)直線l的方程為x=±$\frac{\sqrt{14}}{4}$y+2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、向量的運(yùn)算、兩點(diǎn)間的距離公式等基本知識(shí)與基本技能，考查了分類討論的思想方法、推理能力與計(jì)算能力．