Question

2．若F₁，F(xiàn)₂是橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的兩個焦點，過F₁的直線交橢圓于A，B兩點．
（1）求△ABF₂的周長；
（2）求△ABF₂的面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的方程可得a=5，再由橢圓的定義，可得△ABF₂的周長為4a，計算即可得到；
（2）由橢圓方程可得左、右兩個焦點分別為F₁（-4，0），F(xiàn)₂（4，0）．設直線l的方程為my=x+4．與橢圓方程聯(lián)立消去x可得根與系數(shù)的關系，利用△ABF₂面積S=$\frac{1}{2}$|F₁F₂||y₁-y₂|，可得關于m的表達式，再利用基本不等式即可得出．

解答 解：（1）由橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，可得a=5，
由橢圓的定義可得|AF₁|+|AF₂|=|BF₁|+|BF₂|=2a，
即有△ABF₂的周長為|AB|+|AF₂|+|BF₂|=4a=20；
（2）由橢圓方程可得a²=25，b²=9，c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=4，
左、右兩個焦點分別為F₁（-4，0），F(xiàn)₂（4，0）．
設直線l的方程為my=x+4，代入橢圓方程可得，
化為（25+9m²）y²-72my-81=0．
∴y₁+y₂=$\frac{72m}{25+9{m}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{81}{25+9{m}^{2}}$．
∴|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{（\frac{72m}{25+9{m}^{2}}）^{2}+\frac{324}{25+9{m}^{2}}}$=90$\sqrt{\frac{1+{m}^{2}}{（25+9{m}^{2}）^{2}}}$．
∴△ABF₂面積S=$\frac{1}{2}$|F₁F₂||y₁-y₂|=$\frac{1}{2}$×8×90$\sqrt{\frac{1+{m}^{2}}{（25+9{m}^{2}）^{2}}}$
=360$\sqrt{\frac{1+{m}^{2}}{（25+9{m}^{2}）^{2}}}$，
令t=1+m²（t≥1），則S=360$\sqrt{\frac{t}{（16+9t）^{2}}}$=360$\sqrt{\frac{1}{81t+\frac{256}{t}+288}}$，
由81t+$\frac{256}{t}$≥2$\sqrt{81t•\frac{256}{t}}$=288，當且僅當t=$\frac{16}{9}$取得等號．
△ABF₂面積S取得最大值360×$\sqrt{\frac{1}{576}}$=15．
即當m=±$\frac{\sqrt{7}}{3}$時，△ABF₂面積S取得最大值15．

點評 本題考查了焦點弦與三角形的周長與面積最值問題，注意運用橢圓的定義和轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．