Question

20．已知拋物線$y=\frac{1}{4}{x^2}$和$y=-\frac{1}{16}{x^2}+5$所圍成的封閉曲線，給定點(diǎn)A（0，a），若在此封閉曲線上恰有三對(duì)不同的點(diǎn)，滿足每一對(duì)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是$（\frac{5}{2}，4）$．

Answer 1

分析 由圖可知過兩曲線的交點(diǎn)的直線與x軸的交點(diǎn)為（0，4），所以a＜4．當(dāng)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)分屬兩段曲線時(shí)，設(shè)其中一個(gè)點(diǎn)為（x₁，$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$），則其對(duì)稱點(diǎn)為（-x₁，2a-$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$），將其代入曲線$y=-\frac{1}{16}{x^2}+5$，得到的關(guān)于x₁的方程的解有且只有兩個(gè)，進(jìn)而可得結(jié)果．

解答 解：顯然，過點(diǎn)A與x軸平行的直線與封閉曲線的兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱，且這兩個(gè)點(diǎn)在同一曲線上．
當(dāng)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)分屬兩段曲線時(shí)，設(shè)其中一個(gè)點(diǎn)為（x₁，y₁），其中y₁=$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$，且-4≤x₁≤4，則其關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)為（-x₁，2a-y₁），
所以這個(gè)點(diǎn)在曲線$y=-\frac{1}{16}{x^2}+5$上，
所以2a-y₁=-$\frac{1}{16}$x₁²+5，即2a-$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$=-$\frac{1}{16}$x₁²+5，
所以2a=$\frac{3}{16}$x₁²+5，即$\frac{3}{16}$x₁²+5-2a=0，此方程的x₁的解必須剛好有且只有兩個(gè)，
當(dāng)x₁=4時(shí)，其對(duì)稱點(diǎn)的橫坐標(biāo)剛好為-4，故x₁≠±4，
于是-4＜x₁＜4，且x₁≠0，
∴2a=$\frac{3}{16}$x₁²+5∈（5，8），即$（\frac{5}{2}，4）$．
故答案為：$（\frac{5}{2}，4）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查點(diǎn)的對(duì)稱性、一元二次方程根的判別式，屬于中檔題．