Question

6．已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足$4{S_n}={（{{a_n}+1}）^2}（{n∈{N^*}}）$．
（Ⅰ）求{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設$f（n）=\left\{\begin{array}{l}{a_n}，n=2k-1\\ f（{\frac{n}{2}}），n=2k.\end{array}\right.$（其中n，k∈N^*），${b_n}=f（{{2^n}+4}）$，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n（n≥3）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）結(jié)合公式$4{S_n}={（{{a_n}+1}）^2}（{n∈{N^*}}）$，分n=1與n＞1討論，從而求通項公式即可；
（Ⅱ）分類討論求b_n的值，從而利用拆項求和法求其前n項和．

解答 解：（Ⅰ）∵$4{S_n}={（{{a_n}+1}）^2}（{n∈{N^*}}）$，
∴4a₁=（a₁+1）²，
∴a₁=1，
當n≥2時，4S_n-1=（a_n-1+1）²，
故4a_n=（a_n+1）²-（a_n-1+1）²，
故（a_n-1）²=（a_n-1+1）²，
故a_n-1=a_n-1+1，或a_n-1=-a_n-1-1，
故a_n=a_n-1+2，或a_n=-a_n-1（舍去），
故數(shù)列{a_n}是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，
故a_n=2n-1；
（Ⅱ）∵$f（n）=\left\{\begin{array}{l}{a_n}，n=2k-1\\ f（{\frac{n}{2}}），n=2k.\end{array}\right.$，${b_n}=f（{{2^n}+4}）$，
∴b₁=f（6）=f（3）=a₃=5，
b₂=f（8）=f（4）=f（2）=f（1）=a₁=1，
當n≥3時，
${b_n}=f（{{2^n}+4}）$
=f（2^n-1+2）
=f（2^n-2+1）=2（2^n-2+1）-1=2^n-1+1，
故當n≥3時，
T_n=5+1+（4+1）+（8+1）+…+（2^n-1+1）
=5+n-1+4+8+…+2^n-1
=5+n-1+$\frac{4（1-{2}^{n-2}）}{1-2}$
=n+2ⁿ．

點評 本題考查了學生的化簡運算能力，同時考查了分類討論的思想應用及拆項求和法的應用．