5．?dāng)?shù)列{an}滿足a1=1，3an+1+an-8=0，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．

分析 把已知數(shù)列遞推式變形，可得$\frac{{a}_{n+1}-2}{{a}_{n}-2}=-\frac{1}{3}$，即數(shù)列{an-2}構(gòu)成以-1為首項(xiàng)，以$-\frac{1}{3}$為公比的等比數(shù)列，由此求出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式后得答案．

解答 解：由3an+1+an-8=0，得${a}_{n+1}=-\frac{1}{3}{a}_{n}+\frac{8}{3}$，
即${a}_{n+1}-2=-\frac{1}{3}（{a}_{n}-2）$，
∵a1-2=-1≠0，
∴$\frac{{a}_{n+1}-2}{{a}_{n}-2}=-\frac{1}{3}$，
則數(shù)列{an-2}構(gòu)成以-1為首項(xiàng)，以$-\frac{1}{3}$為公比的等比數(shù)列，
∴${a}_{n}-2=-1×（-\frac{1}{3}）^{n-1}$，
則${a}_{n}=2-（-\frac{1}{3}）^{n-1}$．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列遞推式，訓(xùn)練了利用構(gòu)造等比數(shù)列方法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，是中檔題．

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A．（-∞，-$\frac{5}{3}$）B．（-∞，-$\frac{2}{3}$）C．（-∞，$\frac{1}{3}$）D．（-∞，$\frac{4}{3}$）

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