Question

14．已知$\overrightarrow{a}$=（cosα，sinα），$\overrightarrow$=（cosβ，sinβ）且$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足|k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}$-k$\overrightarrow$|（k＞0），用k表示$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的數(shù)量積．

Answer 1

分析 由已知向量的坐標求出k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$、$\overrightarrow{a}$-k$\overrightarrow$的坐標，把|k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}$-k$\overrightarrow$|兩邊平方后整理得答案．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$=（cosα，sinα），$\overrightarrow$=（cosβ，sinβ），
∴k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$=（kcosα，ksinα）+（cosβ，sinβ）=（kcosα+cosβ，ksinα+sinβ），
$\overrightarrow{a}$-k$\overrightarrow$=（cosα，sinα）-（kcosβ，ksinβ）=（cosα-kcosβ，sinα-ksinβ），
由|k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}$-k$\overrightarrow$|，得（kcosα+cosβ）²+（ksinα+sinβ）²）=3[（cosα-kcosβ）²+（sinα-ksinβ）²]，
整理得：$cosαcosβ+sinαsinβ=\frac{{k}^{2}+1}{4k}$．
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=$cosαcosβ+sinαsinβ=\frac{{k}^{2}+1}{4k}$．

點評 本題考查平面向量的數(shù)量積運算，考查了平面向量的坐標加減法運算，訓練了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用，是中檔題．