Question

7．給出如下命題，其中真命題的序號(hào)是①③
①“函數(shù)f（x）=cos²ax-sin²ax的最小正周期為π”是“a=1”的必要不充分條件
②“x²+2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立”?“（x²+2x）_min≥ax_max在x∈[1，2]上恒成立”
③設(shè)x＞0，則“a≥1”是“z+$\frac{a}{x}$≥2恒成立”的充要條件
④“平面向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角是鈍角”的充要條件是“$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$＜0”

Answer 1

分析 ①利用充分、必要條件的概念與二倍角的余弦及余弦函數(shù)的周期性可判斷①的正誤；
②利用函數(shù)恒成立問(wèn)題可判斷②的正誤；
③利用基本不等式可得結(jié)論；
④“平面向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角是鈍角”的充要條件是“$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$＜0且平面向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$不反向”．

解答 解：①函數(shù)f（x）=cos²ax-sin²ax=cos2ax的最小正周期為π，則 $\frac{2π}{2|a|}$=π，|a|=1，
解得：a=±1，故充分性不成立；反之，若a=1，則f（x）=cos²x-sin²x=cos2x的最小正周期為π，必要性成立；
故函數(shù)f（x）=cos²ax-sin²ax的最小正周期為π是“a=1”的必要不充分條件，即①正確；
②∵不等式x²+2x≥ax的右端含有參數(shù)a，
∴x²+2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立不等價(jià)于（x²+2x）_min≥（ax）_max在x∈[1，2]上恒成立，即②錯(cuò)誤．
③設(shè)x＞0，利用基本不等式可得“a≥1”是“x+$\frac{a}{x}$≥2恒成立”的充要條件，正確；
④“平面向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角是鈍角”的充要條件是“$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$＜0且平面向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$不反向”，不正確．
故答案為：①③．

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查平面向量知識(shí)、充分、必要條件的概念及三角函數(shù)的性質(zhì)與函數(shù)恒成立問(wèn)題，屬于中檔題．