Question

1．設隨機變量X與Y相互獨立，均服從正態(tài)分布N（0，3²）且X₁，X₂，…，X₉與Y₁，Y₂，…，Y₉分別是來自總體X與Y的簡單隨機樣本，則統(tǒng)計量U=$\frac{{X}_{1}+{X}_{2}+…+{X}_{9}}{\sqrt{{Y}_{1}^{2}+{Y}_{2}^{2}+…+{Y}_{9}^{2}}}$服從參數(shù)為9的t分布．

Answer 1

分析 由正態(tài)分布與卡方分布的定義與性質(zhì)可得$\frac{{X}_{1}+{X}_{2}+…+{X}_{9}}{\sqrt{81}}$～N（0，1），$\frac{{{Y}_{1}}^{2}+{{Y}_{2}}^{2}+…+{{Y}_{9}}^{2}}{9}$～χ²（9）．再利用t分布的定義，即可得U=$\frac{{X}_{1}+{X}_{2}+…+{X}_{9}}{\sqrt{{Y}_{1}^{2}+{Y}_{2}^{2}+…+{Y}_{9}^{2}}}$～t（9）．

解答 解：由正態(tài)分布的性質(zhì)以及卡方分布的定義可得：
X₁+…+X₉～N（0，9×3²）=N（0，81），
$\frac{{X}_{1}+{X}_{2}+…+{X}_{9}}{\sqrt{81}}$～N（0，1），$\frac{{{Y}_{1}}^{2}+{{Y}_{2}}^{2}+…+{{Y}_{9}}^{2}}{9}$～χ²（9）．
從而，由t分布的定義可得，
$\frac{\frac{1}{9}（{X}_{1}+{X}_{2}+…+{X}_{9}）}{\sqrt{\frac{1}{9}{（{{Y}_{1}}^{2}+…+{Y}_{9}）}^{2}}•\sqrt{9}}$=$\frac{{X}_{1}+{X}_{2}+…+{X}_{9}}{\sqrt{{Y}_{1}^{2}+{Y}_{2}^{2}+…+{Y}_{9}^{2}}}$～t（9），
即：U～t（9），
從而U服從t分布，參數(shù)為9．
故答案為：9，t．

點評 本題考查了正態(tài)分布、卡方分布以及t分布的定義、性質(zhì)以及相互之間的關系．題目的難度適中，需要熟練掌握．