Question

6．關(guān)于x的方程cos2x+sin2x=2k在（0，$\frac{π}{2}$）上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 令f（x）=sin2x+cos2x，g（x）=2k，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，由三角函數(shù)知識(shí)作出圖象可得．

解答 解：令f（x）=sin2x+cos2x，g（x）=2k，
則f（x）=sin2x+cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）．
∵x∈（0，$\frac{π}{2}$），∴2x+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$），
∴$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）∈（-1，$\sqrt{2}$]，
函數(shù)f（x）在（0，$\frac{π}{2}$）內(nèi)的圖象如圖所示：

∴要使方程sin2x+cos2x=2k在區(qū)間（0，$\frac{π}{2}$）上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，
則函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
則2k的取值范圍為（1，$\sqrt{2}$）．
∴k的取值范圍為：（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩角和與差的正弦函數(shù)，涉及轉(zhuǎn)化思想方法和數(shù)形結(jié)合思想，屬中檔題．