Question

10．已知圓M：（x+$\sqrt{7}$）²+y²=64，定點(diǎn)N（$\sqrt{7}$，0），點(diǎn)P為圓M上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q在NP上，點(diǎn)G 在線段MP上，且滿足$\overrightarrow{NP}$=2$\overrightarrow{NQ}$，$\overrightarrow{GQ}$•$\overrightarrow{NP}$=0，則點(diǎn)G的軌跡方程是（　�。�

• A． $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$
• B． $\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{57}=1$
• C． $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$
• D． $\frac{x^2}{64}-\frac{y^2}{57}=1$

Answer 1

分析 由已知得Q為PN的中點(diǎn)且GQ⊥PN，|GN|+|GM|=|MP|=8，從而得到G點(diǎn)的軌跡是以M、N為焦點(diǎn)的橢圓，其長(zhǎng)半軸長(zhǎng)a=4，半焦距c=$\sqrt{7}$，由此能求出點(diǎn)G的軌跡方程．

解答 解：∵圓$M：{（x+\sqrt{7}）^2}+{y^2}=64$，定點(diǎn)$N（\sqrt{7}，0）$，點(diǎn)P為圓M上的動(dòng)點(diǎn)，
∴M（-$\sqrt{7}$，0），PM=8，
∵點(diǎn)Q在NP上，$點(diǎn)G在線段MP上，且滿足\overrightarrow{NP}=2\overrightarrow{NQ}$，$\overrightarrow{GQ}•\overrightarrow{NP}$=0，
∴Q為PN的中點(diǎn)且GQ⊥PN，∴GQ為PN的中垂線，
∴|PG|=|GN|，∴|GN|+|GM|=|MP|=8，
故G點(diǎn)的軌跡是以M、N為焦點(diǎn)的橢圓，其長(zhǎng)半軸長(zhǎng)a=4，半焦距c=$\sqrt{7}$，
∴短半軸長(zhǎng)b=$\sqrt{16-7}$=3，
∴點(diǎn)G的軌跡方程是$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{9}$=1．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查點(diǎn)的軌跡方程的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓定義和性質(zhì)的合理運(yùn)用．