Question

14．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$及實數(shù)t滿足|$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow$|=3．若$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=2，則t的最大值是$\frac{9}{8}$．

Answer 1

分析 由于求t的最大值，即t＞0，運用兩邊平方，結(jié)合向量的數(shù)量積的性質(zhì)以及基本不等式，計算即可得到t的最大值．

解答 解：由于求t的最大值，即t＞0，
由|$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow$|=3，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=2，
兩邊平方可得（$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow$）²=9，
即為$\overrightarrow{a}$²+t²$\overrightarrow$²+2t$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=9，
即有$\overrightarrow{a}$²+t²$\overrightarrow$²=9-4t，
由$\overrightarrow{a}$²+t²$\overrightarrow$²≥2t|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow$|≥2t$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=4t，
當且僅當$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$同向時，取得等號．
由9-4t≥4t，解得t≤$\frac{9}{8}$．
即有t的最大值為$\frac{9}{8}$．
故答案為：$\frac{9}{8}$．

點評 本題考查向量的數(shù)量積的性質(zhì)，考查基本不等式的運用：求最值，考查運算化簡能力，屬于中檔題．