Question

20．如圖，在圓x²+y²=1上任取一點P，過點P作x軸的垂線段DM，D為垂足，點P為線段DM的中點．
（1）當(dāng)點P在圓x²+y²=1上運動時，求點M的軌跡C的方程；
（2）在（1）的條件下，證明：點M的軌跡C的所有外切矩形的頂點在一個定圓上．

Answer 1

分析 （1）可設(shè)M（x，y），P（x₁，y₁），根據(jù)條件便可得到$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=x}\\{{y}_{1}=\frac{y}{2}}\end{array}\right.$，而點P在圓x²+y²=1上，從而便可得出點M的軌跡C的方程為${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（2）可看出需討論矩形的邊是否與坐標(biāo)軸平行：不平行時，可設(shè)一組對邊所在直線方程為y=kx+m（k≠0），聯(lián)立軌跡C的方程并消去y便可得到（4+k²）x²+2mkx+m²-4=0，從而得出△=0，這樣即可得到$m=±\sqrt{{k}^{2}+4}$，從而得出矩形的一組對邊所在直線方程為$y-kx=±\sqrt{{k}^{2}+4}$．這樣便可得出另一組對邊所在直線方程為$ky+x=±\sqrt{1+4{k}^{2}}$，從而矩形頂點（x，y）滿足（y-kx）²+（ky+x）²=5（k²+1），整理便可得到x²+y²=5；矩形的邊與坐標(biāo)軸平行時，容易求出矩形的頂點坐標(biāo)，從而可以看出頂點坐標(biāo)滿足方程x²+y²=5，這樣便得出點M的軌跡C的所有外切矩形的頂點在一個定圓上．

解答 解：（1）設(shè)M（x，y），P（x₁，y₁），則：
$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=x}\\{{y}_{1}=\frac{y}{2}}\end{array}\right.$；
∵點P在圓x²+y²=1上；
∴${{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}=1$；
∴${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
∴點M的軌跡C的方程為${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（2）證明：①若矩形的邊與坐標(biāo)軸不平行，則可設(shè)一組對邊所在直線的方程為y=kx+m（k≠0）；
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\\{y=kx+m}\end{array}\right.$消去y得：（4+k²）x²+2mkx+m²-4=0；
∴△=4m²k²-4（4+k²）（m²-4）=0，化簡得，$m=±\sqrt{{k}^{2}+4}$；
∴矩形的一組對邊所在直線的方程為$y=kx±\sqrt{{k}^{2}+4}$，即$y-kx=±\sqrt{{k}^{2}+4}$；
則另一組對邊所在直線的方程為$ky+x=±\sqrt{1+4{k}^{2}}$；
于是矩形頂點坐標(biāo)（x，y）滿足（y-kx）²+（ky+x）²=（k²+4）+（1+4k²）；
即（1+k²）（x²+y²）=5（1+k²）；
∴x²+y²=5；
②若矩形的邊與坐標(biāo)軸平行，則四個頂點（±1，±2）顯然滿足x²+y²=5；
∴點M的軌跡C的所有外切矩形的頂點在一個定圓x²+y²=5上．

點評 考查動點的軌跡方程的求法，中點坐標(biāo)公式，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及直線的斜截式方程，直線和橢圓相切時，直線方程和橢圓方程聯(lián)立所得一元二次方程有二重根，從而有△=0，以及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．