Question

6．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=$\frac{a（1{-q}^{n}）}{1-q}$（a≠0，q≠0，q≠1）．
（I）求證：數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列；
（Ⅱ）若數(shù)列{a_n}從第三項起，后一項是前兩項的等差中項，求q的值．

Answer 1

分析 （I）通過S_n=$\frac{a（1{-q}^{n}）}{1-q}$，分n=1，n≥2兩種情況計算出通項公式，進而可得結(jié)論；
（Ⅱ）通過（I）可知2a_n+2=a_n+a_n+1，進而代入計算即可．

解答 （I）證明：依題意，當n=1時，a₁=a，
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{a（1-{q}^{n}）}{1-q}$-$\frac{a（1-{q}^{n-1}）}{1-q}$=$\frac{a-a•{q}^{n}-a+a•{q}^{n-1}}{1-q}$=a•q^n-1，
∴數(shù)列{a_n}是首項為a、公比為q的等比數(shù)列；
（Ⅱ）解：由（I）可知2a_n+2=a_n+a_n+1，
即2a•qⁿ⁺¹=a•q^n-1+a•qⁿ，整理得：2q²=1+q，
解得：q=-$\frac{1}{2}$或q=1（舍）．

點評 本題考查等比數(shù)列的證明，考查運算求解能力，考查分類討論的思想，注意解題方法的積累，屬于中檔題．