Question

16．求數(shù)列$\frac{1}{1+\sqrt{3}}$，$\frac{1}{\sqrt{2}+2}$，…，$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+2}}$，…的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 通過(guò)分母有理化、裂項(xiàng)可知$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+2}}$=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{n+2}$-$\sqrt{n}$），進(jìn)而并項(xiàng)相加即得結(jié)論．

解答 解：∵$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+2}}$=$\frac{\sqrt{n+2}-\sqrt{n}}{（\sqrt{n}+\sqrt{n+2}）（\sqrt{n+2}-\sqrt{n}）}$=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{n+2}$-$\sqrt{n}$），
∴S_n=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{3}$-1+$\sqrt{4}$-$\sqrt{2}$+…+$\sqrt{n+2}$-$\sqrt{n}$）
=$\frac{1}{2}$（-1-$\sqrt{2}$+$\sqrt{n+1}$+$\sqrt{n+2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的求和，考查裂項(xiàng)相消法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．