【題目】已知函數(shù),
為
的導(dǎo)函數(shù).
(1)求證:在
上存在唯一零點(diǎn);
(2)求證:有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn).
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)證明見(jiàn)解析.
【解析】
(1) 設(shè),然后判斷函數(shù)
在
上的符號(hào),得出
的單調(diào)性,再利用零點(diǎn)存在定理判斷
在
上是否存在唯一零點(diǎn)即可;
(2) 分,
,和
三種情況分別考慮
的零點(diǎn)存在情況,從而得證.
(1)設(shè),
當(dāng)時(shí),
,所以
在
上單調(diào)遞減,
又因?yàn)?/span>,
所以在
上有唯一的零點(diǎn)
,所以命題得證.
(2) ①由(1)知:當(dāng)時(shí),
,
在
上單調(diào)遞增;
當(dāng)時(shí),
,
在
上單調(diào)遞減;
所以在
上存在唯一的極大值點(diǎn)
所以
又因?yàn)?/span>
所以在
上恰有一個(gè)零點(diǎn).
又因?yàn)?/span>
所以在
上也恰有一個(gè)零點(diǎn).
②當(dāng)時(shí),
,
設(shè),
所以在
上單調(diào)遞減,所以
所以當(dāng)時(shí),
恒成立
所以在
上沒(méi)有零點(diǎn).
③當(dāng)時(shí),
設(shè),
所以在
上單調(diào)遞減,所以
所以當(dāng)時(shí),
恒成立
所以在
上沒(méi)有零點(diǎn).
綜上,有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品被檢測(cè)出其中一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)存在問(wèn)題. 該企業(yè)為了檢查生產(chǎn)該產(chǎn)品的甲、乙兩條流水線的生產(chǎn)情況,隨機(jī)地從這兩條流水線上生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取件產(chǎn)品作為樣本,測(cè)出它們的這一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值.若該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值落在
內(nèi),則為合格品,否則為不合格品.表 1是甲流水線樣本的頻數(shù)分布表,如圖所示是乙流水線樣本的頻率分布直方圖.
表1 甲流水線樣本的頻數(shù)分布表
質(zhì)量指標(biāo)值 | 頻數(shù) |
(1)若將頻率視為概率,某個(gè)月內(nèi)甲、乙兩條流水線均生產(chǎn)了萬(wàn)件產(chǎn)品,則甲、乙兩條流水線分別生產(chǎn)出不合格品約多少件?
(2)在甲流水線抽取的樣本的不合格品中隨機(jī)抽取兩件,求兩件不合格品的質(zhì)量指標(biāo)值均偏大的概率;
(3)根據(jù)已知條件完成下面列聯(lián)表,并判斷在犯錯(cuò)誤概率不超過(guò)
的前提下能否認(rèn)為“該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與甲、乙兩條流水線的選擇有關(guān)”?
甲生產(chǎn)線 | 乙生產(chǎn)線 | 合計(jì) | |
合格品 | |||
不合格品 | |||
合計(jì) |
附:(其中
為樣本容量)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】第三屆移動(dòng)互聯(lián)創(chuàng)新大賽,于2017年3月~10月期間舉行,為了選出優(yōu)秀選手,某高校先在計(jì)算機(jī)科學(xué)系選出一種子選手,再?gòu)娜U骷?/span>3位志愿者分別與
進(jìn)行一場(chǎng)技術(shù)對(duì)抗賽,根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn),
與這三位志愿者進(jìn)行比賽一場(chǎng)獲勝的概率分別為
,且各場(chǎng)輸贏互不影響.
(1)求甲恰好獲勝兩場(chǎng)的概率;
(2)求甲獲勝場(chǎng)數(shù)的分布列與數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)與橢圓
的右焦點(diǎn)相同.
(Ⅰ)求拋物線的方程;
(Ⅱ)若直線與曲線
都只有一個(gè)公共點(diǎn),記直線
與拋物線
的公共點(diǎn)為P,求點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在①;②
;③
這三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在下面問(wèn)題中的橫線上,并解答相應(yīng)的問(wèn)題.
在中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且滿足________________,
,求
的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2019年7月,中國(guó)良渚古城遺址獲準(zhǔn)列入世界遺產(chǎn)名錄,標(biāo)志著中華五千年文明史得到國(guó)際社會(huì)認(rèn)可.良渚古城遺址是人類(lèi)早期城市文明的范例,實(shí)證了中華五千年文明史.考古科學(xué)家在測(cè)定遺址年齡的過(guò)程中利用了“放射性物質(zhì)因衰變而減少”這一規(guī)律.已知樣本中碳14的質(zhì)量N隨時(shí)間T(單位:年)的衰變規(guī)律滿足(
表示碳14原有的質(zhì)量),則經(jīng)過(guò)5730年后,碳14的質(zhì)量變?yōu)樵瓉?lái)的______;經(jīng)過(guò)測(cè)定,良渚古城遺址文物樣本中碳14的質(zhì)量是原來(lái)的
至
,據(jù)此推測(cè)良渚古城存在的時(shí)期距今約在5730年到______年之間.(參考數(shù)據(jù):
,
,
)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為
,直線l與曲線C交于A,B兩個(gè)不同的點(diǎn).
(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程;
(2)若點(diǎn)P為直線l與x軸的交點(diǎn),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,
是邊長(zhǎng)為4的正方形,
平面
,
分別為
的中點(diǎn).
(1)證明:平面
.
(2)若,求二面角
的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,拋物線的焦點(diǎn)為
,過(guò)點(diǎn)
的直線與拋物線
交于點(diǎn)
、
,直線
、
分別與拋物線
交于點(diǎn)
、
.
(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)求與
的面積之和的最小值.
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