【題目】已知函數(shù),
為
的導函數(shù).
(1)求證:在
上存在唯一零點;
(2)求證:有且僅有兩個不同的零點.
【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析.
【解析】
(1) 設,然后判斷函數(shù)
在
上的符號,得出
的單調(diào)性,再利用零點存在定理判斷
在
上是否存在唯一零點即可;
(2) 分,
,和
三種情況分別考慮
的零點存在情況,從而得證.
(1)設,
當時,
,所以
在
上單調(diào)遞減,
又因為,
所以在
上有唯一的零點
,所以命題得證.
(2) ①由(1)知:當時,
,
在
上單調(diào)遞增;
當時,
,
在
上單調(diào)遞減;
所以在
上存在唯一的極大值點
所以
又因為
所以在
上恰有一個零點.
又因為
所以在
上也恰有一個零點.
②當時,
,
設,
所以在
上單調(diào)遞減,所以
所以當時,
恒成立
所以在
上沒有零點.
③當時,
設,
所以在
上單調(diào)遞減,所以
所以當時,
恒成立
所以在
上沒有零點.
綜上,有且僅有兩個零點.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品被檢測出其中一項質(zhì)量指標存在問題. 該企業(yè)為了檢查生產(chǎn)該產(chǎn)品的甲、乙兩條流水線的生產(chǎn)情況,隨機地從這兩條流水線上生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取件產(chǎn)品作為樣本,測出它們的這一項質(zhì)量指標值.若該項質(zhì)量指標值落在
內(nèi),則為合格品,否則為不合格品.表 1是甲流水線樣本的頻數(shù)分布表,如圖所示是乙流水線樣本的頻率分布直方圖.
表1 甲流水線樣本的頻數(shù)分布表
質(zhì)量指標值 | 頻數(shù) |
(1)若將頻率視為概率,某個月內(nèi)甲、乙兩條流水線均生產(chǎn)了萬件產(chǎn)品,則甲、乙兩條流水線分別生產(chǎn)出不合格品約多少件?
(2)在甲流水線抽取的樣本的不合格品中隨機抽取兩件,求兩件不合格品的質(zhì)量指標值均偏大的概率;
(3)根據(jù)已知條件完成下面列聯(lián)表,并判斷在犯錯誤概率不超過
的前提下能否認為“該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標值與甲、乙兩條流水線的選擇有關”?
甲生產(chǎn)線 | 乙生產(chǎn)線 | 合計 | |
合格品 | |||
不合格品 | |||
合計 |
附:(其中
為樣本容量)
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】第三屆移動互聯(lián)創(chuàng)新大賽,于2017年3月~10月期間舉行,為了選出優(yōu)秀選手,某高校先在計算機科學系選出一種子選手,再從全校征集出3位志愿者分別與
進行一場技術對抗賽,根據(jù)以往經(jīng)驗,
與這三位志愿者進行比賽一場獲勝的概率分別為
,且各場輸贏互不影響.
(1)求甲恰好獲勝兩場的概率;
(2)求甲獲勝場數(shù)的分布列與數(shù)學期望.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知拋物線的焦點與橢圓
的右焦點相同.
(Ⅰ)求拋物線的方程;
(Ⅱ)若直線與曲線
都只有一個公共點,記直線
與拋物線
的公共點為P,求點P的坐標.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在①;②
;③
這三個條件中任選一個,補充在下面問題中的橫線上,并解答相應的問題.
在中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足________________,
,求
的面積.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】2019年7月,中國良渚古城遺址獲準列入世界遺產(chǎn)名錄,標志著中華五千年文明史得到國際社會認可.良渚古城遺址是人類早期城市文明的范例,實證了中華五千年文明史.考古科學家在測定遺址年齡的過程中利用了“放射性物質(zhì)因衰變而減少”這一規(guī)律.已知樣本中碳14的質(zhì)量N隨時間T(單位:年)的衰變規(guī)律滿足(
表示碳14原有的質(zhì)量),則經(jīng)過5730年后,碳14的質(zhì)量變?yōu)樵瓉淼?/span>______;經(jīng)過測定,良渚古城遺址文物樣本中碳14的質(zhì)量是原來的
至
,據(jù)此推測良渚古城存在的時期距今約在5730年到______年之間.(參考數(shù)據(jù):
,
,
)
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在直角坐標系xOy中,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C的極坐標方程為
,直線l與曲線C交于A,B兩個不同的點.
(1)求曲線C的直角坐標方程;
(2)若點P為直線l與x軸的交點,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線的焦點為
,過點
的直線與拋物線
交于點
、
,直線
、
分別與拋物線
交于點
、
.
(1)求拋物線的標準方程;
(2)求與
的面積之和的最小值.
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