Question

18．已知正實數(shù)m，n，設(shè)a=m+n，b=$\sqrt{{m^2}+14mn+{n^2}}$．若以a，b為某個三角形的兩邊長，設(shè)其第三條邊長為c，且c滿足c²=k•mn，則實數(shù)k的取值范圍為（　�。�

• A． （1，6）
• B． （2，36）
• C． （4，20）
• D． （4，36）

Answer 1

分析 由基本不等式得a=m+n$≥2\sqrt{mn}$，b=$\sqrt{{m^2}+14mn+{n^2}}$$≥4\sqrt{mn}$，由余弦定理得c²=a²+b²-2accosC，由此能求出實數(shù)k的取值范圍．

解答 解：∵正實數(shù)m，n，
∴a=m+n$≥2\sqrt{mn}$，b=$\sqrt{{m^2}+14mn+{n^2}}$$≥4\sqrt{mn}$，
∵其第三條邊長為c，且c滿足c²=k•mn，
∴c²=a²+b²-2abcosC
≥4mn+16mn-16mncosC，
∵-1≤cosC≤1，
∴4kmn≤c²≤36mn，
∴實數(shù)k的取值范圍為（4，36）．
故選：D．

點評 本題考查實數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意基本不等式和余弦定理的合理運用．