Question

9．設(shè)函數(shù)f（x）=sinx+cosx（x∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和最值；
（2）若f（$\frac{π}{12}$）=$\sqrt{2}$sinA，其中A是面積為$\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$的銳角△ABC的內(nèi)角，且AB=2，求邊AC和BC的長．

Answer 1

分析 （1）化簡得f（x）=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），利用正弦函數(shù)的性質(zhì)得出周期和最值；
（2）根據(jù)f（$\frac{π}{12}$）=$\sqrt{2}$sinA得出A，根據(jù)三角形的面積得出AC，利用余弦定理求出BC．

解答 解：（1）f（x）=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=2π．f（x）的最大值為$\sqrt{2}$，最小值為-$\sqrt{2}$．
（2）∵f（$\frac{π}{12}$）=$\sqrt{2}$sinA，即$\sqrt{2}$sin$\frac{π}{3}$=$\sqrt{2}$sinA，
∴sinA=sin$\frac{π}{3}$，∵△ABC是銳角三角形，∴A=$\frac{π}{3}$．
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•AC•sinA=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，∴AC=3．
∴BC²=AB²+AC²-2AB•AC•cosA=7，
∴BC=$\sqrt{7}$．

點評 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換，解三角形，屬于基礎(chǔ)題．