Question

2．已知定義在R上的函數(shù)$f（x）={（{\frac{1}{3}}）^{|x-t|}}$+2（t∈R）為偶函數(shù)，記a=f（-log₃4），b=f（log₂5），c=f（2t），a，b，c大小關(guān)系為（　�。�

• A． a＜b＜c
• B． c＜a＜b
• C． b＜a＜c
• D． b＜c＜a

Answer 1

分析 根據(jù)題意，由函數(shù)奇偶性的性質(zhì)可得f（-x）=f（x），即$（\frac{1}{3}）^{|x-t|}$+2=$（\frac{1}{3}）^{|-x-t|}$+2，分析可得t=0，即可得f（x）的解析式，將其寫成分段函數(shù)的形式，分析可得其在區(qū)間（0，+∞）上為減函數(shù)，進(jìn)而可得a=f（-log₃4）=f（log₃4），b=f（log₂5），c=f（2t）=f（0），比較自變量的大小，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可得答案．

解答 解：定義在R上的函數(shù)$f（x）={（{\frac{1}{3}}）^{|x-t|}}$+2（t∈R）為偶函數(shù)，
則有f（-x）=f（x），即$（\frac{1}{3}）^{|x-t|}$+2=$（\frac{1}{3}）^{|-x-t|}$+2，
分析可得t=0，即$f（x）={（{\frac{1}{3}}）^{|x|}}$+2=$\left\{\begin{array}{l}{{\frac{1}{3}}^{x}+2，x≥0}\\{{3}^{x}+2，x＜0}\end{array}\right.$，在區(qū)間（0，+∞）上為減函數(shù)，
a=f（-log₃4）=f（log₃4），b=f（log₂5），c=f（2t）=f（0），
又由0＜log₃4＜log₂5，
則有b＜a＜c；
故選：C．

點評 本題考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合，關(guān)鍵是分析求出t的值．