Question

7．已知橢圓長軸長、短軸長和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率是$\frac{3}{5}$．

Answer 1

分析 通過設(shè)橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），利用2a，2b，2c成等差數(shù)列，及a²-b²=c²，計算即得結(jié)論．

解答 解：不妨設(shè)橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
由題可知：2a，2b，2c成等差數(shù)列，
即4b=2a+2c，∴b=$\frac{1}{2}$（a+c），
又a²-b²=c²，
∴a²-c²=$\frac{1}{4}$（a+c）²，
化簡得：3a²-5c²-2ac=0，
∴$\frac{3a}{c}-\frac{5c}{a}-2=0$，即3$\frac{1}{e}$-5e-2=0，
∴5e²+2e-3=0，
解得：e=$\frac{-2±\sqrt{{2}^{2}-4×5×（-3）}}{2×5}$=$\frac{-2±8}{10}$，
∴e=$\frac{3}{5}$或e=-1（舍），
故答案為：$\frac{3}{5}$．

點評 本題考查求橢圓的離心率，涉及到等差中項的性質(zhì)等基本知識，注意解題方法的積累，屬于中檔題．