Question

6．設(shè)a，b為不相等的正實(shí)數(shù)，若二次函數(shù)f（x）=x²+（6-ab）x+10滿足f（2a）=f（b），則ab的最小值為18．

Answer 1

分析 利用二次函數(shù)對(duì)稱性可知-$\frac{6-ab}{2}$=$\frac{2a+b}{2}$，對(duì)式子變形可得（b-2）（a-1）=8，利用換元法令x=a-1，y=b-2，xy=8，進(jìn)而求出ab=（x+1）（y+2）=2x+y+10≥2$\sqrt{2xy}$+10=18．

解答 解：f（x）=x²+（6-ab）x+10滿足f（2a）=f（b），
∴-$\frac{6-ab}{2}$=$\frac{2a+b}{2}$，
∴ab-6=2a+b，
∴（b-2）（a-1）=8，
令x=a-1，y=b-2，xy=8，
∴a=x+1，b=y+2，
∴ab=（x+1）（y+2）=2x+y+10≥2$\sqrt{2xy}$+10=18，
當(dāng)2x=y即x=2，y=4時(shí)成立，
∴當(dāng)a=3，b=6時(shí)，ab有最小值18．
故答案為：18．

點(diǎn)評(píng) 考查了二次函數(shù)的性質(zhì)和均值定理的應(yīng)用．難點(diǎn)是式子的變形和換元法的應(yīng)用．