Question

18．已知數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=2ⁿ-3a_n，n∈N^*
（1）設(shè)b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}_{n}}$，求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式（用a₁和n表示）；
（2）求使得數(shù)列{a_n}單調(diào)遞增的所有a₁的值．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1=2ⁿ-3a_n（n∈N^*），得$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}•\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$，即$_{n+1}=-\frac{3}{2}_{n}+\frac{1}{2}$，然后構(gòu)造等比數(shù)列{b_n$-\frac{1}{5}$}，則其通項(xiàng)公式可求；
（2）由（1）知，$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}=（\frac{{a}_{1}}{2}-\frac{1}{5}）•（-\frac{3}{2}）^{n-1}+\frac{1}{5}$，化簡求得${a}_{n}=（\frac{{a}_{1}}{2}-\frac{1}{5}）•（-\frac{3}{2}）^{n-1}•{2}^{n}+\frac{1}{5}•{2}^{n}$，求出a_n-a_n-1，然后對${a}_{1}=\frac{2}{5}$，${a}_{1}＜\frac{2}{5}$，${a}_{1}＞\frac{2}{5}$討論，可得使得數(shù)列{a_n}單調(diào)遞增的a₁的值為$\frac{2}{5}$．

解答 解：（1）∵a_n+1=2ⁿ-3a_n（n∈N^*），
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}•\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$，
又b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$，∴$_{n+1}=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}_{n}$，即$_{n+1}=-\frac{3}{2}_{n}+\frac{1}{2}$，
變形得，$_{n+1}-\frac{1}{5}=-\frac{3}{2}（_{n}-\frac{1}{5}）$，
當(dāng)${a}_{1}=\frac{2}{5}$時(shí)，數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式為$_{n}=\frac{1}{5}$；
當(dāng)${a}_{1}≠\frac{2}{5}$時(shí)，$_{1}-\frac{1}{5}≠0$，
∴數(shù)列{b_n$-\frac{1}{5}$}是以$\frac{{a}_{1}}{2}-\frac{1}{5}$為首項(xiàng)，以$-\frac{3}{2}$為公比的等比數(shù)列，
則$_{n}-\frac{1}{5}=（\frac{{a}_{1}}{2}-\frac{1}{5}）•（-\frac{3}{2}）^{n-1}$，
即$_{n}=（\frac{{a}_{1}}{2}-\frac{1}{5}）•（-\frac{3}{2}）^{n-1}+\frac{1}{5}$；
（2）由（1）知，$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}=（\frac{{a}_{1}}{2}-\frac{1}{5}）•（-\frac{3}{2}）^{n-1}+\frac{1}{5}$，
則${a}_{n}=（\frac{{a}_{1}}{2}-\frac{1}{5}）•（-\frac{3}{2}）^{n-1}•{2}^{n}+\frac{1}{5}•{2}^{n}$，
∴${a}_{n}-{a}_{n-1}=（\frac{{a}_{1}}{2}-\frac{1}{5}）•2•（-3）^{n-1}+\frac{{2}^{n}}{5}$$-（\frac{{a}_{1}}{2}-\frac{1}{5}）•2•（-3）^{n-2}-\frac{{2}^{n-1}}{5}$
=$（\frac{4}{5}-2{a}_{1}）•（-3）^{n-2}+\frac{{2}^{n-1}}{5}$．
當(dāng)${a}_{1}=\frac{2}{5}$時(shí)，$（\frac{4}{5}-2{a}_{1}）•（-3）^{n-2}+\frac{{2}^{n-1}}{5}$=$\frac{{2}^{n-1}}{5}$＞0；
當(dāng)${a}_{1}＜\frac{2}{5}$時(shí)，$\frac{4}{5}-2{a}_{1}＞0$，此時(shí)存在充分大的奇數(shù)，使得$（\frac{4}{5}-2{a}_{1}）•（-3）^{n-2}+\frac{{2}^{n-1}}{5}$＜0；
當(dāng)${a}_{1}＞\frac{2}{5}$時(shí)，$\frac{4}{5}-2{a}_{1}＜0$，此時(shí)存在充分大的偶數(shù)，使得$（\frac{4}{5}-2{a}_{1}）•（-3）^{n-2}+\frac{{2}^{n-1}}{5}$＜0．
綜上，使得數(shù)列{a_n}單調(diào)遞增的a₁的值為$\frac{2}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列遞推式，著重考查等比關(guān)系的確定及構(gòu)造函數(shù)思想，考查推理、分析與運(yùn)算的綜合能力，屬于難題．