Question

14．已知圓C：（x-1）²+y²=r²（r＞0）與直線l：y=x+3，且直線l上有唯一的一個點P，使得過點P作圓C的兩條切線互相垂直．設(shè)EF是直線l上的一條線段，若對于圓C上的任意一點Q，$\overrightarrow{QE}•\overrightarrow{QF}≤0$，則$|{\overrightarrow{EF}}|$的最小值是4+4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由圓的對稱性知直線l上的唯一點P與圓心C（1，0）所在直線必與直線l垂直，求得PC所在直線方程，與直線l求得交點P，再根據(jù)對稱性可得r=2，由題意，知|EF|取得最小值時，一定關(guān)于直線y=-x+1對稱，畫出圖形，通過圖形觀察，當兩圓相內(nèi)切時，求得最小值．

解答 解：根據(jù)圓的對稱性知直線l上的唯一點P與圓心C（1，0）所在直線必與直線l垂直，
則PC所在直線的方程為x+y=1，與直線y=x+3聯(lián)立求得P（-1，2），
再根據(jù)對稱性知過點P（-1，2）的兩條切線必與坐標軸垂直，r=2；
由題意，知|EF|取得最小值時，一定關(guān)于直線y=-x+1對稱，如圖所示，
因此可設(shè)以點P（-1，2）為圓心，以R為半徑的圓，
即（x+1）²+（y-2）²=R²與圓C內(nèi)切時，
$|{\overrightarrow{EF}}|$的最小值即為2R，
由相切條件易知2R=2（|CP|+2）=2（2$\sqrt{2}$+2）=4+4$\sqrt{2}$．
故答案為：4+4$\sqrt{2}$．

點評 本題考查直線和圓的位置關(guān)系，圓與圓的位置關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合思想方法，注意幾何法的運用，考查運算能力，屬于中檔題．