Question

2．若數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=2ⁿ，則a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=（n-1）2ⁿ+2．

Answer 1

分析 由已知數(shù)列的前n項(xiàng)和求出數(shù)列通項(xiàng)公式，代入a₁+2a₂+3a₃+…+na_n，利用錯(cuò)位相減法求得答案．

解答 解：由S_n=2ⁿ，得a₁=2，
當(dāng)n≥2時(shí)，${a}_{n}={S}_{n}-{S}_{n-1}={2}^{n}-{2}^{n-1}={2}^{n-1}$，
當(dāng)n=1時(shí)上式不成立，
∴${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{2，n=1}\\{{2}^{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$，
則T_n=a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=2+2×2¹+3×2²+…+n•2^n-1，
令R_n=2×2¹+3×2²+…+n•2^n-1，
則$2{R}_{n}=2×{2}^{2}+3×{2}^{3}+…+（n-1）•{2}^{n-1}+n•{2}^{n}$，
∴$-{R}_{n}=2+2+{2}^{2}+…+{2}^{n-1}-n•{2}^{n}$=$2+\frac{2（1-{2}^{n-1}）}{1-2}-n•{2}^{n}$=2ⁿ-n•2ⁿ，
∴${R}_{n}=（n-1）{2}^{n}$，
則a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=（n-1）2ⁿ+2．
故答案為：（n-1）2ⁿ+2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查由數(shù)列的前n項(xiàng)和求數(shù)列的通項(xiàng)公式，訓(xùn)練了錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，是中檔題．