Question

14．設(shè)F₁，F(xiàn)₂為雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}-{y}^{2}$=1的兩個焦點，P是雙曲線上任意一點，且∠F₁PF₂=60°，則△PF₁F₂的面積是（　�。�

• A． 2$\sqrt{3}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• D． 3$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由題意可得F₁ （-$\sqrt{5}$，0），F(xiàn)₂（$\sqrt{5}$，0），由余弦定理可得PF₁•PF₂，由S=$\frac{1}{2}$PF₁•PF₂sin60°，求得△F₁PF₂的面積即為所求．

解答 解：由題意可得雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1，a=2，b=1，
c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{5}$，
得F₁ （-$\sqrt{5}$，0），F(xiàn)₂（$\sqrt{5}$，0），
又F₁F₂²=20，|PF₁-PF₂|=4，
由余弦定理可得：
F₁F₂²=PF₁²+PF₂²-2PF₁•PF₂cos60°
=（PF₁-PF₂）²+PF₁•PF₂=16+PF₁•PF₂=20，
∴PF₁•PF₂=4，
∴△F₁PF₂的面積S=$\frac{1}{2}$PF₁•PF₂sin60°=$\frac{1}{2}$×4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
故選：B．

點評 本題考查雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，余弦定理，以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，求出PF₁•PF₂的值，是解題的關(guān)鍵．