Question

16．如圖，橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）和圓C₂：x²+y²=$\frac{^{2}}{2}$，橢圓C₁短軸的上端點為A，左焦點為F，直線AF與圓C₂相切，橢圓C₁左焦點到左準線的距離為1．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）設(shè)點N為橢圓C₁上異于A、B的任意一點，求△ABN面積的最大值；
（3）試探求x軸上是否存在定點M，使得∠AMF=∠BMF，若存在，求點M的坐標(biāo)，若不存在，則說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意可得A（0，b），F(xiàn)（-c，0），求得直線AB的方程，由直線和圓相切的條件：d=r，以及橢圓的準線方程，解方程可得a，b，進而得到橢圓的方程；
（2）求得A，B的坐標(biāo)，弦長AB，再設(shè)直線y=x+t，代入橢圓方程，由相切的條件判別式為0，可得t，再由平行直線的距離公式可得N到直線的最大距離，即可得到所求面積的最大值；
（3）假設(shè)x軸上存在定點M（m，0），使得∠AMF=∠BMF，可得直線AM，BM的斜率互為相反數(shù)，運用直線的斜率公式計算即可得到所求點的坐標(biāo)．

解答 解：（1）由題意可得A（0，b），F(xiàn)（-c，0），
直線AF的方程為cy-bx=bc，
由直線和圓相切的條件可得$\frac{bc}{\sqrt{^{2}+{c}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}$，
即有b=c，
又橢圓C₁左焦點（-c，0）到左準線x=-$\frac{{a}^{2}}{c}$的距離為1，
可得-c+$\frac{{a}^{2}}{c}$=1，a=$\sqrt{2}$c，
解得a=$\sqrt{2}$，b=c=1，
即有橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）將直線y=x+1代入橢圓方程，可得B（-$\frac{4}{3}$，-$\frac{1}{3}$），
設(shè)與直線y=x+1平行的直線為y=x+t，
當(dāng)直線y=x+t與橢圓相切時，面積取得最值．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+t}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$可得3x²+4tx+2t²-2=0，
由△=16t²-12（2t²-2）=0，解得t=±$\sqrt{3}$，
由題意可得直線y=x-$\sqrt{3}$，
即有面積的最大值為$\frac{1}{2}$•|AB|•d=$\frac{1}{2}$•$\frac{4}{3}$$\sqrt{2}$•$\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}$=$\frac{2}{3}$（$\sqrt{3}$+1）；
（3）假設(shè)x軸上存在定點M（m，0），使得∠AMF=∠BMF，
可得直線AM，BM的斜率互為相反數(shù)，
即有$\frac{1-0}{0-m}$=-$\frac{\frac{1}{3}}{\frac{4}{3}+m}$，解方程可得m=-2．
則x軸上存在定點M（-2，0），使得∠AMF=∠BMF．

點評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運用直線和圓相切的條件：d=r，考查三角形的面積的最值的求法，注意運用直線和橢圓相切，考查直線的斜率公式的運用，屬于中檔題．