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16.如圖,橢圓C1x2a2+y22=1(a>b>0)和圓C2:x2+y2=22,橢圓C1短軸的上端點為A,左焦點為F,直線AF與圓C2相切,橢圓C1左焦點到左準線的距離為1.
(1)求橢圓C1的方程;
(2)設(shè)點N為橢圓C1上異于A、B的任意一點,求△ABN面積的最大值;
(3)試探求x軸上是否存在定點M,使得∠AMF=∠BMF,若存在,求點M的坐標(biāo),若不存在,則說明理由.

分析 (1)由題意可得A(0,b),F(xiàn)(-c,0),求得直線AB的方程,由直線和圓相切的條件:d=r,以及橢圓的準線方程,解方程可得a,b,進而得到橢圓的方程;
(2)求得A,B的坐標(biāo),弦長AB,再設(shè)直線y=x+t,代入橢圓方程,由相切的條件判別式為0,可得t,再由平行直線的距離公式可得N到直線的最大距離,即可得到所求面積的最大值;
(3)假設(shè)x軸上存在定點M(m,0),使得∠AMF=∠BMF,可得直線AM,BM的斜率互為相反數(shù),運用直線的斜率公式計算即可得到所求點的坐標(biāo).

解答 解:(1)由題意可得A(0,b),F(xiàn)(-c,0),
直線AF的方程為cy-bx=bc,
由直線和圓相切的條件可得bc2+c2=2,
即有b=c,
又橢圓C1左焦點(-c,0)到左準線x=-a2c的距離為1,
可得-c+a2c=1,a=2c,
解得a=2,b=c=1,
即有橢圓方程為x22+y2=1;
(2)將直線y=x+1代入橢圓方程,可得B(-43,-13),
設(shè)與直線y=x+1平行的直線為y=x+t,
當(dāng)直線y=x+t與橢圓相切時,面積取得最值.
{y=x+tx2+2y2=2可得3x2+4tx+2t2-2=0,
由△=16t2-12(2t2-2)=0,解得t=±3
由題意可得直線y=x-3,
即有面積的最大值為12•|AB|•d=124323+12=233+1);
(3)假設(shè)x軸上存在定點M(m,0),使得∠AMF=∠BMF,
可得直線AM,BM的斜率互為相反數(shù),
即有100m=-1343+m,解方程可得m=-2.
則x軸上存在定點M(-2,0),使得∠AMF=∠BMF.

點評 本題考查橢圓的方程的求法,注意運用直線和圓相切的條件:d=r,考查三角形的面積的最值的求法,注意運用直線和橢圓相切,考查直線的斜率公式的運用,屬于中檔題.

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