Question

8．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），斜率為1且過橢圓右焦點(diǎn)F的直線l交橢圓于M，N兩點(diǎn)，且$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$=λ（3，-1）．
（1）求$\frac{a}$的值；
（2）試證明直線OM的斜率k₁與直線ON的斜率k₂的乘積k₁•k₂為定值，并求該定值；
（3）設(shè)A為橢圓上任意一點(diǎn)，且滿足$\overrightarrow{OA}$=α（$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$）+β$\overrightarrow{MN}$（α，β∈R），求αβ的最大值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出橢圓的焦點(diǎn)F（c，0），直線l：y=x-c，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，再由向量共線的坐標(biāo)表示，化簡整理，即可得到所求值；
（2）運(yùn)用韋達(dá)定理和a，b，c的關(guān)系，以及直線的斜率公式，即可得到定值；
（3）設(shè)A（m，n），則有$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{n}^{2}}{^{2}}$=1，運(yùn)用向量共線的坐標(biāo)表示，兩邊平方，化簡可得2α²+2β²=1，設(shè)α=$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosθ，β=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinθ，0≤θ＜2π，再由二倍角的正弦公式和正弦函數(shù)的值域，即可得到最大值．

解答 解：（1）橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦點(diǎn)為F（c，0），
可得直線l：y=x-c，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
聯(lián)立橢圓方程，可得（b²+a²）x²-2ca²x+a²c²-a²b²=0，
即有x₁+x₂=$\frac{2c{a}^{2}}{^{2}+{a}^{2}}$，y₁+y₂=x₁+x₂-2c=-$\frac{2c^{2}}{^{2}+{a}^{2}}$，
由$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$=λ（3，-1），可得（x₁+x₂，y₁+y₂）=（3λ，-λ），
即有a²=3b²，即為$\frac{a}$=$\sqrt{3}$；
（2）證明：由（1）可得，x₁+x₂=$\frac{2c{a}^{2}}{^{2}+{a}^{2}}$=$\frac{3c}{2}$，
x₁x₂=$\frac{{a}^{2}{c}^{2}-{a}^{2}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$=$\frac{3}{4}$（c²-b²）=$\frac{3}{4}$（c²-$\frac{1}{2}$c²）=$\frac{3}{8}$c²，
則k₁•k₂=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$•$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}-c}{{x}_{1}}$•$\frac{{x}_{2}-c}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}{x}_{2}-c（{x}_{1}+{x}_{2}）+{c}^{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\frac{\frac{3}{8}{c}^{2}-c•\frac{3c}{2}+{c}^{2}}{\frac{3{c}^{2}}{8}}$=-$\frac{1}{3}$為定值；
（3）設(shè)A（m，n），則有$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{n}^{2}}{^{2}}$=1，
由$\overrightarrow{OA}$=α（$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$）+β$\overrightarrow{MN}$=α（$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$）+β（$\overrightarrow{ON}$-$\overrightarrow{OM}$）
=（α-β）$\overrightarrow{OM}$+（α+β）$\overrightarrow{ON}$，
即有$\left\{\begin{array}{l}{m=（α-β）{x}_{1}+（α+β）{x}_{2}}\\{n=（α-β）{y}_{1}+（α+β）{y}_{2}}\end{array}\right.$，
由$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{n}^{2}}{^{2}}$=（α-β）²•（$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{^{2}}$）+（α+β）²•（$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{^{2}}$）+2（α²-β²）（$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{^{2}}$）
=（α-β）²+（α+β）²+2（α²-β²）（$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{^{2}}$）
=2α²+2β²+2（α²-β²）（$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{3^{2}}$）=2α²+2β²=1，
設(shè)α=$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosθ，β=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinθ，0≤θ＜2π，
即有αβ=$\frac{1}{2}$cosθsinθ=$\frac{1}{4}$（2sinθcosθ）=$\frac{1}{4}$sin2θ≤$\frac{1}{4}$，
當(dāng)2θ=$\frac{π}{2}$，即θ=$\frac{π}{4}$時(shí)，αβ取得最大值，且為$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程和運(yùn)用，考查向量共線的坐標(biāo)表示，以及直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理，同時(shí)考查換元法的運(yùn)用和三角函數(shù)的恒等變換及正弦函數(shù)的值域的運(yùn)用，屬于中檔題．