Question

某商品每件成本9元，售價為30元，每星期賣出144件．如果降低價格，銷售量可以增加，且每星期多賣出的商品件數(shù)與商品單價的降低值x（單位：元，0≤x≤30）的平方成正比．已知商品單價降低2元時，一星期多賣出8件．
（Ⅰ）將一個星期的商品銷售利潤表示成x的函數(shù)；
（Ⅱ）如何定價才能使一個星期的商品銷售利潤最大？

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）先設(shè)商品降價x元，寫出多賣的商品數(shù)，則可計算出商品在一個星期的獲利數(shù)，再依題意“商品單價降低2元時，一星期多賣出24件”，求出比例系數(shù)，即可得一個星期的商品銷售利潤表示成x的函數(shù)．
（Ⅱ）根據(jù)（1）中得到的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其極值，從而求出f（x）達到極大值，從而得出定價為多少元時，能使一個星期的商品銷售利潤最大．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)商品降價x元，則每個星期多賣的商品數(shù)為kx²，
若記商品在一個星期的獲利為f（x），
則依題意有f（x）=（30-x-9）（144+kx²）=（21-x）（144+kx²），
又由已知條件，8=k•2²，于是有k=2，
∴f（x）=-2x³+42x²-144x+3024，x∈[0，30]．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：

f^(x)=-6x2+84x-144=-6(x2-14x+24) =-6(x-2)(x-12)，x∈[0，30]

當(dāng)x變化時，f'（x）與f（x）的變化如下表：…7分

x	[0，2）	2	2a2- 1 16 ＜0	12	（12，30]
f'（x）	-		+		-
f（x）	↘	極小	↗	極大	↘

…10 分
故x=12時，f（x）達到極大值．因為f（0）=3024，f（12）=3888，
所以定價為30-12=18元能使一個星期的商品銷售利潤最大．…13 分

點評：本題考查函數(shù)表達式的求法，考查商品銷售利潤最大值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運用．