Question

拋物線C：y²=2px（p＞0）上橫坐標(biāo)為

3

2

的點到焦點F的距離為2．
（1）求拋物線方程；
（2）過拋物線的焦點F，作互相垂直的兩條弦AB和CD，求|AB|+|CD|的最小值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知得

3

2

+

p

2

=2，由此能求出拋物線方程．
（2）設(shè)直線AB的方程為y=k（x-

1

2

），聯(lián)立

y=k(x- 1 2 ) y2=2x

，得k2x2-(2+k2)x+

k2

4

=0，由此利用拋物線弦長公式能求出|AB|+|CD|的最小值．

解答： 解：（1）∵拋物線C：y²=2px（p＞0）上橫坐標(biāo)為

3

2

的點到焦點F的距離為2，
∴

3

2

+

p

2

=2，解得p=1．
∴拋物線方程為y²=2x．
（2）拋物線y²=2x的焦點F（

1

2

，0），
由題意知直線AB的斜率k存在，且k≠0，
設(shè)直線AB的方程為：y=k（x-

1

2

），
聯(lián)立

y=k(x- 1 2 ) y2=2x

，得k2x2-(2+k2)x+

k2

4

=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=

2+k2

k2

，
|AB|=x₁+x₂+1=

2+k2

k2

+1=

2

k2

+2，
∵CD⊥AB，∴|CD|=2+2k²，
∴|AB|+|CD|=4+

2

k2

+2k²≥4+2

4

=8，
當(dāng)且僅當(dāng)

2

k2

=2k2，即k=±1時，
|AB|+|CD|取最小值8．

點評：本題考查拋物線方程的求法，考查兩條線段長的最小值的求法，解題時要認真審題，注意拋物線弦長公式的合理運用．