8.在△ABC中,cosB=$\frac{\sqrt{6}}{3}$,cosC=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$,且△ABC的面積為$\sqrt{2}$.
(1)求AB邊的長;
(2)若D為邊BC上一點,且AD平分∠BAC,求BD的長.

分析 (1)由條件可得sinB和sinC的值,設(shè)BC邊上的高AE=h,則AB=$\sqrt{3}$h,AC=3h,BC=BE+EC=$\sqrt{2}$h+2$\sqrt{2}$h.再根據(jù)△ABC的面積為 $\frac{1}{2}$BC•AE=$\sqrt{2}$,求得h的值,可得AB 的值.
(2)由條件利用內(nèi)角平分線的性質(zhì),求得BD的值.

解答 解:(1)△ABC中,cosB=$\frac{\sqrt{6}}{3}$,cosC=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$,∴sinB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,sinC=$\frac{1}{3}$,設(shè)BC邊上的高AE=h,
則AB=$\sqrt{3}$h,AC=3h,BC=BE+EC=$\sqrt{2}$h+2$\sqrt{2}$h.
再根據(jù)△ABC的面積為 $\frac{1}{2}$BC•AE=($\sqrt{2}$h+2$\sqrt{2}$h)•h=$\sqrt{2}$,求得h=$\frac{\sqrt{6}}{3}$.
∴AB=$\sqrt{3}$h=$\sqrt{2}$.
(2)若D為邊BC上一點,且AD平分∠BAC,則由內(nèi)角平分線的性質(zhì)可得$\frac{AB}{AC}$=$\frac{BD}{DC}$,
即 $\frac{\sqrt{3}•h}{3h}$=$\frac{BD}{3\sqrt{2}h-BD}$,求得BD=$\frac{3\sqrt{6}•h}{3+\sqrt{3}}$=3-$\sqrt{3}$.

點評 本題主要考查直角三角形中的邊角關(guān)系,內(nèi)角平分線的性質(zhì),屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

18.設(shè)拋物線的焦點為F、頂點為O、準(zhǔn)線與對稱軸的交點為K,分別過F、O、K的三條平行直線被拋物線所截得的弦長依次為a,b,c,則(  )
A.a2+c2=2b2B.ac=b2C.a+c=2bD.ac=2b2

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

19.已知等差數(shù)列{an},滿足a5+a7=6,則此數(shù)列的前11項的和S11=33.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

16.本在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知c=6,sin(A+B)+sin(A-B)=sinA.
(1)求B的大小;
(2)若b=2$\sqrt{7}$,求△ABC的面積.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

3.如圖,已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$(a>b>0)的離心率是$\frac{\sqrt{2}}{2}$,橢圓和曲線E:x2=2py(p>0)相交于A、B兩點,且M(-$\sqrt{2}$+1,2$\sqrt{2}$),B兩點關(guān)于直線y=x+$\sqrt{2}$對稱.
(1)寫出點A,B的坐標(biāo)并求出橢圓和曲線E的方程;
(2)設(shè)經(jīng)過橢圓右焦點F的直線l交橢圓于C、D兩點,判斷點P(2$\sqrt{2}$,0)與以線段CD為直徑的圓的位置關(guān)系,并說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

13.對任意x∈(0,$\frac{π}{2}$),不等式tanx•f(x)<f′(x)恒成立,則下列不等式錯誤的是(  )
A.f($\frac{π}{3}$)>$\sqrt{2}$f($\frac{π}{4}$)B.f($\frac{π}{3}$)>2cos1•f(1)C.f($\frac{π}{4}$)<2cos1•f(1)D.f($\frac{π}{4}$)<$\frac{\sqrt{6}}{2}$f($\frac{π}{6}$)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

20.已知m∈{x|ex-1+x-2=0},n∈{x|x2-ax-a+3=0},且存在m,n使|m-n|≤1,則實數(shù)a的取值范圍為[2,3].

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

17.已知函數(shù)f(x)=a2x2+ax在區(qū)間(0,1)上有零點,求實數(shù)a的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

18.已知,a,b,c(a>b>c)是△ABC的角A,B,C的對邊,若4sin2(B+C)-3=0,則$\frac{asin(\frac{π}{6}-C)}{b-c}$的值為( 。
A.$\frac{1}{2}$B.$\frac{\sqrt{3}}{2}$C.$\frac{1}{4}$D.$\frac{\sqrt{3}}{4}$

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案