Question

18．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F、頂點(diǎn)為O、準(zhǔn)線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)為K，分別過(guò)F、O、K的三條平行直線被拋物線所截得的弦長(zhǎng)依次為a，b，c，則（　�。�

• A． a²+c²=2b²
• B． ac=b²
• C． a+c=2b
• D． ac=2b²

Answer 1

分析 不妨設(shè)拋物線方程為y²=4x，則點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)O坐標(biāo)為（0，0），點(diǎn)K的坐標(biāo)為（-1，0），過(guò)F、O、K的平行線方程可分別設(shè)為x=my+1，x=my，x=my-1，結(jié)合韋達(dá)定理的推論2，分別求出a，b，c的大小，可得答案．

解答 解：不妨設(shè)拋物線方程為y²=4x，
則點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)O坐標(biāo)為（0，0），點(diǎn)K的坐標(biāo)為（-1，0），
過(guò)F、O、K的平行線方程可分別設(shè)為x=my+1，x=my，x=my-1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y}^{2}=4x\\ x=my+1\end{array}\right.$消去x得到y(tǒng)²-4my-4=0，
故a=$4\sqrt{{m}^{2}+1}$•$\sqrt{1+\frac{1}{{m}^{2}}}$，
同理可求得b=4|m|•$\sqrt{1+\frac{1}{{m}^{2}}}$，c=$4\sqrt{{m}^{2}-1}$•$\sqrt{1+\frac{1}{{m}^{2}}}$，
所以a²+c²=2b²，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，韋達(dá)定理的推論2--弦長(zhǎng)公式，難度中檔．