Question

13．（普通班）已知{a_n}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且a₁+a₂=2（$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$），a₃+a₄+a₅=64（$\frac{1}{{a}_{3}}$+$\frac{1}{{a}_{4}}$+$\frac{1}{{a}_{5}}$）．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=$\frac{1}{{a}_{n}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）設公比為q，由已知得：$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}（1+q）=\frac{2}{{a}_{1}}（1+\frac{1}{q}）}\\{{a}_{1}{q}^{2}（1+q+{q}^{2}）=\frac{64}{{a}_{1}{q}^{2}}（1+\frac{1}{q}+\frac{1}{{q}^{2}}）}\end{array}\right.$，化簡解出即可得出．
（2）b_n=$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，再利用等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答 解：（1）設公比為q，則a_n=${a}_{1}{q}^{n-1}$．
由已知得：$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}（1+q）=\frac{2}{{a}_{1}}（1+\frac{1}{q}）}\\{{a}_{1}{q}^{2}（1+q+{q}^{2}）=\frac{64}{{a}_{1}{q}^{2}}（1+\frac{1}{q}+\frac{1}{{q}^{2}}）}\end{array}\right.$，

化簡得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}^{2}q=2}\\{{a}_{1}^{2}{q}^{6}=64}\end{array}\right.$，又a₁＞0，
解得q=2，a₁=1．
∴a_n=2^n-1．
（2）b_n=$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
∴數(shù)列{b_n}的前n項和T_n=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$=2-$\frac{2}{{2}^{n}}$．

點評 本題考查了等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．