Question

3．如圖，函數(shù)F（x）的圖象是由指數(shù)函數(shù)f（x）=b^x與冪函數(shù)g（x）=x^a“拼接”而成，記m=a^a，n=a^b，p=b^a，q=b^b則m，n，p，q的大小關(guān)系為p＜m＜q＜n（用“＜”連接）．

Answer 1

分析 將（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$）分別代入f（x）和g（x），求出a，b的值，計算出m，n，p，q．

解答 解：由函數(shù)圖象可知f（$\frac{1}{4}$）=g（$\frac{1}{4}$）=$\frac{1}{2}$，∴b${\;}^{\frac{1}{4}}$=（$\frac{1}{4}$）^a=$\frac{1}{2}$．解得a=$\frac{1}{2}$，b=$\frac{1}{16}$．
∴m=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{\frac{1}{2}}$，n=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{\frac{1}{16}}$，p=（$\frac{1}{16}$）${\;}^{\frac{1}{2}}$=（$\frac{1}{2}$）²，q=（$\frac{1}{16}$）${\;}^{\frac{1}{16}}$=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{\frac{1}{4}}$，
∵y=（$\frac{1}{2}$）^x是減函數(shù)，∴（$\frac{1}{2}$）²＜（$\frac{1}{2}$）${\;}^{\frac{1}{2}}$＜（$\frac{1}{2}$）${\;}^{\frac{1}{4}}$＜（$\frac{1}{2}$）${\;}^{\frac{1}{16}}$．
故答案為p＜m＜q＜n

點評 本題考查了指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，將m，n，p，q表示成同底的分數(shù)指數(shù)冪是關(guān)鍵．