Question

2．已知在數(shù)列{a_n}中，a₁=5，a₂=2，a_n=2a_n-1+3a_n-2（n≥3）．對于這個數(shù)列的遞推公式作一研究，能否得出它的通項公式．

Answer 1

分析 通過a_n=2a_n-1+3a_n-2可知a_n+2+a_n+1=3a_n+1+3a_n，進而數(shù)列{a_n+1+a_n}是以7為首項、3為公比的等比數(shù)列，從而a_n+1-$\frac{7}{4}$•3ⁿ=-（a_n-$\frac{7}{4}$•3^n-1），進而數(shù)列{a_n-$\frac{7}{4}$•3^n-1}是以$\frac{13}{4}$為首項、-1為公比的等比數(shù)列，計算即得結(jié)論．

解答 解：∵a_n=2a_n-1+3a_n-2，
∴a_n+2+a_n+1=3a_n+1+3a_n，
又∵a₁+a₂=5+2=7，
∴數(shù)列{a_n+1+a_n}是以7為首項、3為公比的等比數(shù)列，
∴a_n+1+a_n=7•3^n-1，
∴a_n+1-$\frac{7}{4}$•3ⁿ=-（a_n-$\frac{7}{4}$•3^n-1），
又∵a₁-$\frac{7}{4}$•3^1-1=5-$\frac{7}{4}$=$\frac{13}{4}$，
∴數(shù)列{a_n-$\frac{7}{4}$•3^n-1}是以$\frac{13}{4}$為首項、-1為公比的等比數(shù)列，
∴a_n-$\frac{7}{4}$•3^n-1=（-1）^n-1•$\frac{13}{4}$，
∴a_n=（-1）^n-1•$\frac{13}{4}$+$\frac{7}{4}$•3^n-1．

點評 本題考查數(shù)列的通項，注意解題方法的積累，屬于中檔題．