Question

9．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{2}$sin（2ωx+φ）（x∈R），其中ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$，f（x）滿足以下兩個條件：①兩條相鄰對稱軸之間的距離為π；②f（0）=1．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在[0，π]內(nèi)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅲ）若方程f（x）+a=0在$[{0，\;\frac{5π}{8}}]$內(nèi)有2個不等實根，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由周期求出ω，有特殊點的坐標求出φ，可得函數(shù)的解析式．
（Ⅱ）由條件利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)f（x）在[0，π]內(nèi)的單調(diào)遞增區(qū)間．
（Ⅲ）由題意利用函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的值域，可得a的范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵T=$\frac{2π}{ω}$=2π，所以ω=1，∴函數(shù)f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+φ）．
又f（0）=$\sqrt{2}$sinφ=1，∴sinφ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，結(jié)合|φ|＜$\frac{π}{2}$，可得φ=$\frac{π}{4}$．
∴$f（x）=\sqrt{2}sin（{2x+\frac{π}{4}}）$．
（Ⅱ）令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，得 kπ-$\frac{3π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{π}{8}$，k∈Z，
故函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{π}{8}$]，k∈Z．
又因為0≤x≤π，函數(shù)f（x）在[0，π]內(nèi)的單調(diào)遞增區(qū)間為[0，$\frac{π}{8}$]和[$\frac{5π}{8}$，π]．
（Ⅲ）由題意知：函數(shù)y=f（x）與y=-a圖象在$[{0，\;\frac{5π}{8}}]$內(nèi)有兩個交點，
由（Ⅱ）可知函數(shù)f（x）在[0，$\frac{π}{8}$]上是增函數(shù)，在$[{\frac{π}{8}，\;\frac{5π}{8}}]$上是減函數(shù)．
又f（0）=1，$f（{\frac{π}{8}}）=\sqrt{2}$，$f（{\frac{5π}{8}}）=-\sqrt{2}$，所以$1≤-a＜\sqrt{2}$，即$-\sqrt{2}＜a≤1$．

點評 本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，正弦函數(shù)的單調(diào)性，正弦函數(shù)的圖象特征，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．