Question

11．△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知tanA，tanC是關于x的方程x²-p（x-1）+1=0的兩個實根，若b=2，則△ABC面積的最大值為1．

Answer 1

分析 由一元二次方程根與系數(shù)的關系可得tanAtanC=1，則有A+C=$\frac{π}{2}$．由此可知△ABC為以角B為直角的直角三角形，由勾股定理結合不等式的性質求得ac的最大值，則△ABC面積的最大值可求．

解答 解：∵tanA，tanC是關于x的方程x²-（p-1）x+1=0的兩個實根，
∴tanAtanC=1，則A+C=$\frac{π}{2}$．
∴B=$\frac{π}{2}$．
又b=2，
∴4=b²=a²+c²≥2ac，
當且僅當a=c時取等號．
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}ac≤1$．
故答案為：1．

點評 本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關系，考查了同角三角函數(shù)基本關系式的應用，考查三角形面積的求法，是中檔題．