Question

10．圖2中的實線圍成的部分是長方體（圖1）的平面展開圖，其中四邊形ABCD是邊長為1的正方形，若向虛線圍成的矩形內(nèi)任意拋擲一質(zhì)點，它落在長方體的平面展開圖內(nèi)的概率是$\frac{1}{4}$．
（1）從正方體ABCD的四條邊及兩條對角線共6條線段中任取2條線段（每條線段被取到的可能性相等），則其中一條線段長度是另一條線段長度的$\sqrt{2}$倍的概率是$\frac{8}{15}$．
（2）此長方體的體積為3．

Answer 1

分析 （1）明確所有滿足條件的取法以及滿足其中一條線段長度是另一條線段長度的$\sqrt{2}$倍的取法，利用古典概型公式解答；
（2）根據(jù)向虛線圍成的矩形內(nèi)任意拋擲一質(zhì)點，它落在長方體的平面展開圖內(nèi)的概率是$\frac{1}{4}$，得到長方體的表面積與展開圖對應(yīng)的進(jìn)行面積比，利用幾何概型的公式可求長方體的高．

解答 解：（1）從正方體ABCD的四條邊及兩條對角線共6條線段中任取2條線段（每條線段被取到的可能性相等），
共有${C}_{6}^{2}$=15種不同的取法，使其中一條線段長度是另一條線段長度的$\sqrt{2}$倍的取法有${C}_{2}^{1}{C}_{4}^{1}$=8，由幾何概型的個數(shù)得到滿足條件的概率為$\frac{8}{15}$；
（2）設(shè)長方體的高為h，則長方體的表面積為2+4h，而展開圖的矩形面積為（2+2h）（1+2h），
由向虛線圍成的矩形內(nèi)任意拋擲一質(zhì)點，它落在長方體的平面展開圖內(nèi)的概率是$\frac{1}{4}$，得到$\frac{2+4h}{（2+2h）（1+2h）}=\frac{1}{4}$，解得h=3；
所以長方體的體積為1×1×3=3；
故答案為：$\frac{8}{15}$； 3．

點評 不同考查了古典概型的概率求法以及幾何概型的應(yīng)用；屬于中檔題．