Question

設函數f（x）=

2ax3

1+|x|

（a＞0，x∈R），已知區(qū)間A=[

m2

2

，

n2

2

]（m＜n），集合B={f（x）|m≤x≤n}，則使得A=B成立的實數a的取值范圍是（　�。�

• A、a＞

  1

  4

• B、a≤

  1

  4

• C、0＜a≤

  5

  4

• D、0＜a＜

  5

  4

Answer 1

考點：集合的相等

專題：函數的性質及應用

分析：先想辦法去掉函數中的絕對值符號，然后再進一步研究函數的單調性，從而構造出關于m，n的方程（組），最終轉化為方程的根的個數判斷問題．

解答： 解：當x＞0時，f(x)=

2ax3

1+x

，結合a＞0得f′(x)=

6ax2+4ax3

(1+x)2

＞0．
所以函數f（x）在（0，+∞）上遞增．
結合函數f（x）是奇函數，且f（0）=0．
所以f（x）在R上是增函數．
則結合已知A=B可得

f(m)= m2 2 f(n)= n2 2

，化簡得

4a=1+|m| 4a=1+|n|

．
則問題即為方程4a=1+|x|有兩個互異實根．
所以只需a＞

1

4

即可．
故選A

點評：本題考查了利用函數的單調性來解決集合相等的問題，關鍵是對題意的正確理解．