Question

15．在△ABC中，已知2cosB=$\frac{c}{a}$，則“2sinAsinC=$\frac{c}$”是“△ABC為直角三角形”的（　　）

• A． 充要條件
• B． 充分不必要條件
• C． 必要不充分條件
• D． 既不充分也不必要條件

Answer 1

分析 由2cosB=$\frac{c}{a}$結(jié)合正弦定理，誘導(dǎo)公式和兩角和與差的正弦公式，可得A=B，進(jìn)而分析“2sinAsinC=$\frac{c}$”與“△ABC為直角三角形”的充分性和必要性，可得答案．

解答 解：∵2cosB=$\frac{c}{a}$=$\frac{sinC}{sinA}$，
∴2sinAcosB=sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，
∴-sinAcosB+cosAsinB=sin（B-A）=0，
故A=B，
若“2sinAsinC=$\frac{c}$”，則“2sinAsinC=$\frac{sinC}{sinB}$”，則2sinAsinB=2sin²A=1，解得：sinA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即A=B=45°，則C為直角，“△ABC為直角三角形”，
故“2sinAsinC=$\frac{c}$”是“△ABC為直角三角形”的充分條件；
若“△ABC為直角三角形”，則“△ABC為等腰直角三角形”，則C為直角，則“2sinAsinC=$\sqrt{2}$=$\frac{c}$”，
故“2sinAsinC=$\frac{c}$”是“△ABC為直角三角形”的必要條件；
綜上“2sinAsinC=$\frac{c}$”是“△ABC為直角三角形”的充分必要條件；
故選：A

點評 本題考查的知識點是正弦定理，誘導(dǎo)公式和兩角和與差的正弦公式，充要條件，難度中檔．