Question

函數(shù)f（x）=x⁴+（2-λ）x²+2-λ，是否存在實數(shù)λ，使f（x）在（-∞，-2]上是減函數(shù)，而在[-1，0）上是增函數(shù)？若存在，請求出λ的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：求f′（x），根據(jù)f′（x）的符號判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，求出函數(shù)f（x）在（-∞，0）上的單調(diào)贈區(qū)間：（-

λ-2 2

，0）和單調(diào)減區(qū)間：（-∞，-

λ-2 2

]．所以要使f（x）在（-∞，-2]上是減函數(shù)，而在[-1，0）上是增函數(shù)，則能得到限制λ的不等式，解不等式，即得λ的取值，根據(jù)λ的取值，即能看出是否存在λ，使f（x）在（-∞，-2]上是減函數(shù)，而在[-1，0）上是增函數(shù)．

解答： 解：f′（x）=4x³+2（2-λ）x=2x（2x²+2-λ）；
若2-λ≥0，則函數(shù)f（x）在[-1，0）上是減函數(shù)，即不能使f（x）在[-1，0）上是增函數(shù)；
若2-λ＜0，則令f′（x）=0得x=0，或±

λ-2 2

；
∴x＜-

λ-2 2

時，2x＜0，2x²+2-λ＞0，∴f′（x）＜0；-

λ-2 2

＜x＜0時，2x＜0，2x²+2-λ＜0，∴f′（x）＞0；
∴f（x）在(-∞，-

λ-2 2

]上是減函數(shù)，在(-

λ-2 2

，0)上是增函數(shù)；
∴若存在實數(shù)λ，使f（x）在（-∞，-2]上是減函數(shù)，而在[-1，0）上是增函數(shù)，則：

- λ-2 2 ≥-2 - λ-2 2 ≤-1

，解得4≤λ≤6，不妨取λ=5；
即存在λ=5，使f（x）在（-∞，-2]上是減函數(shù)，而在[-1，0）上是增函數(shù)．

點評：考查通過求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，不要忘了討論2-λ≥0和2-λ＜0，求λ范圍時可借助數(shù)軸．