Question

12．已知直線l：$y=x+\sqrt{6}$，圓O：x²+y²=5，橢圓E：$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的離心率$e=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，直線l被圓O截得的弦長與橢圓的短軸長相等．
（1）求橢圓E的方程；
（2）過圓O上任意一點$P（{x_0}，{y_0}）（{x_0}≠±\sqrt{2}，{y_0}≠±\sqrt{3}）$作兩條直線與橢圓E分別只有唯一一個公共點，求證：這兩直線斜率之積為定值．

Answer 1

分析 （1）求得圓心到直線的距離，運用弦長公式，由離心率公式和a，b，c的關系，解方程可得a，b，進而得到橢圓方程；
（2）設過P的橢圓E的切線l₀的方程為y-y₀=k（x-x₀），代入橢圓方程，運用直線和橢圓相切的條件：判別式為0，化簡整理，再由韋達定理，即可得到斜率之積為定值．

解答 解：（1）設橢圓半焦距為c，
圓心O到l的距離d=$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{1+1}}$=$\sqrt{3}$，
則l被圓O截得的弦長為2$\sqrt{5-3}$=2$\sqrt{2}$，
所以b=$\sqrt{2}$．
由題意得$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，且a²-b²=c²，
∴a²=3，b²=2，
∴橢圓E的方程為$\frac{{y}^{2}}{3}$+$\frac{{x}^{2}}{2}$=1；
（2）過P（x₀，y₀）的直線與橢圓E分別只有唯一的公共點，
設過P的橢圓E的切線l₀的方程為y-y₀=k（x-x₀），
整理得y=kx+y₀-kx₀，
聯(lián)立直線l₀與橢圓E的方程得$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+{y}_{0}-k{x}_{0}}\\{2{y}^{2}+3{x}^{2}=6}\end{array}\right.$，
消去y得2[kx+（y₀-kx₀）]²+3x²-6=0，
整理得（3+2k²）x²+4k（y₀-kx₀）x+2（kx₀-y₀）²-6=0，
∵l₀與與橢圓E分別只有唯一的公共點（即與橢圓E相切），
∴△=[4k（y₀-kx₀）]²-4（3+2k²）[2（kx₀-y₀）²-6]=0，
整理得（2-x${\;}_{0}^{2}$）k²+2x₀y₀k-（y${\;}_{0}^{2}$-3）=0，
設滿足題意的與橢圓E分別只有唯一的公共點的直線的斜率分別為k₁，k₂，
則k₁k₂=-$\frac{{{y}_{0}}^{2}-3}{2-{{x}_{0}}^{2}}$．
∵點P在圓O上，∴x₀²+y₀²=5，
∴k₁k₂=-$\frac{5-{{x}_{0}}^{2}-3}{2-{{x}_{0}}^{2}}$=-1．
∴兩條切線斜率之積為-1．

點評 本題考查橢圓的方程的求法，運用離心率公式和圓的弦長公式，考查直線和橢圓方程聯(lián)立，運用韋達定理和直線和橢圓相切的條件：判別式為0，屬于中檔題．