Question

4．一個棱長為12的正四面體紙盒內(nèi)放一個正方體，若正方體可以在紙盒內(nèi)任意轉(zhuǎn)動，則正方體的體積最大值是（　�。�

• A． 16$\sqrt{2}$
• B． 6$\sqrt{2}$
• C． 12$\sqrt{2}$
• D． 32$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 在一個棱長為12的正四面體紙盒內(nèi)放一個正方體，并且能使正方體在紙盒內(nèi)任意轉(zhuǎn)動，說明正方體在正四面體的內(nèi)切球內(nèi)，求出內(nèi)切球的直徑，就是正方體的對角線的長，然后求出正方體的棱長．

解答 解：設(shè)正四面體的內(nèi)切球的半徑為：r，由正四面體的體積得：
4×$\frac{1}{3}$×r×$\frac{\sqrt{3}}{4}$×12²=$\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{4}$×12²×$\sqrt{1{2}^{2}-（\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}×12）^{2}}$，
所以r=$\sqrt{6}$，
設(shè)正方體的最大棱長為a，
∴3a²=（2$\sqrt{6}$）²，
∴a=2$\sqrt{2}$，
∴正方體的體積最大值是16$\sqrt{2}$．
故選：A．

點評 本題是中檔題，考查正四面體的內(nèi)接球的知識，球的內(nèi)接正方體的棱長的求法，考查空間想象能力，轉(zhuǎn)化思想，計算能力．