Question

8．設(shè)函數(shù)f（x）=lnx+x²-2ax+a²，a屬于R．
（1）討論函數(shù)f（x）極值點(diǎn)的情況；
（2）若函數(shù)f（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上不是單調(diào)函數(shù)．試求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求出f′（x）（x＞0），設(shè)g（x）=2x²-2ax+1，①當(dāng)a≤0時(shí)，g（x）＞0，可得f′（x）＞0，利用單調(diào)性即可判斷出極值情況．②a＞0，（i）△=4a²-8≤0，即0＜a≤$\sqrt{2}$時(shí)，利用單調(diào)性即可判斷出極值情況．（ii））△=4a²-8＞0，即a＞$\sqrt{2}$時(shí)，利用單調(diào)性即可得出極值情況；
（2）問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，2]上有極值點(diǎn)，得到關(guān)于a的不等式組，基礎(chǔ)即可．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{{2x}^{2}-2ax+1}{x}$（x＞0），
設(shè)g（x）=2x²-2ax+1，
①當(dāng)a≤0時(shí)，g（x）＞0，∴f′（x）＞0，
此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，沒有極值點(diǎn)，舍去．
②a＞0，（i）△=4a²-8≤0，
即0＜a≤$\sqrt{2}$時(shí)，f′（x）＞0恒成立，
此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，沒有極值點(diǎn)，舍去．
（ii））△=4a²-8＞0，即a＞$\sqrt{2}$時(shí)，
由g（x）＜0，解得 $\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$＜x＜$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$，
f′（x）＜0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；
由g（x）＞0，解得0＜x＜$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$，或x＞$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$，
f′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．
∴x=$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$是函數(shù)f（x）的極大值點(diǎn)；
x=$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$是函數(shù)f（x）的極小值點(diǎn)．
綜上可得：當(dāng)a≤$\sqrt{2}$時(shí)，函數(shù)f（x）沒有極值點(diǎn)；
當(dāng)a＞$\sqrt{2}$時(shí)：x=$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$ 是函數(shù)f（x）的極大值點(diǎn)；
x=$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$是函數(shù)f（x）的極小值點(diǎn)．
（2）∵f（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上不是單調(diào)函數(shù)，
∴函數(shù)在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，2]上有極值點(diǎn)，
∴$\frac{1}{2}$＜$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$＜2或$\frac{1}{2}$＜$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-2}}{2}$＜2，
解得：$\frac{3}{2}$＜a＜$\frac{9}{4}$，
∴a∈（$\frac{3}{2}$，$\frac{9}{4}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考察了函數(shù)的單調(diào)性問題，考察導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，求函數(shù)的極值點(diǎn)問題，是一道中檔題．