Question

15．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$ln（2x+1）-mx（m∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$ln（2x+1）-mx（m∈R）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)2f（x）≤m+1恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的定義域，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)m與0 的大小的討論，求解函數(shù)的單調(diào)性即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（2）利用函數(shù)恒成立，轉(zhuǎn)為化函數(shù)的最值問(wèn)題，借助（1）的解答判斷求解即可．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{1}{2}$ln（2x+1）-mx，x＞-$\frac{1}{2}$，
∴f′（x）=$\frac{1}{1+2x}$-m，
∵2x+1＞0，∴當(dāng)m≤0時(shí)，f′（x）＞0，…（2分）
當(dāng)m＞0時(shí)，f′（x）=0，解得x=$\frac{1}{2m}$-$\frac{1}{2}$，m-$\frac{1}{2}$＞-$\frac{1}{2}$，
列表

x	（$-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2m}-\frac{1}{2}$）	$\frac{1}{2m}-\frac{1}{2}$	（$\frac{1}{2m}-\frac{1}{2}$，+∞）
f'（x	+	0	-
f（x）	遞增	極大值	遞減

綜上所述：
當(dāng)m≤0時(shí)，f（x）的增區(qū)間是（-$\frac{1}{2}$，+∞），
當(dāng)m＞0時(shí)，f（x）的增區(qū)間是（$-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2m}-\frac{1}{2}$），減區(qū)間是（$\frac{1}{2m}-\frac{1}{2}$，+∞）…（6分）
（2）若函數(shù)2f（x）≤m+1恒成立，只需f（x）的最大值小于等于$\frac{m+1}{2}$，
當(dāng)m≤0時(shí)，f（x）=$\frac{1}{2}$ln（2x+1）-mx的值趨向于無(wú)窮大，故不成立，…（10分）
當(dāng)m＞0時(shí)，由（1）知f（x）有唯一的極值且是極大值，
所以，當(dāng)x=$\frac{1}{2m}-\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）的函數(shù)值最大，…（12分）
所以，2f（$\frac{1}{2m}-\frac{1}{2}$）=ln（$\frac{1}{m}$-1+1）-$m（\frac{1}{m}-1）$=ln$\frac{1}{m}$-（1-m）≤m+1，解得，m≥$\frac{1}{{e}^{2}}$，
故函數(shù)2f（x）≤m+1恒成立時(shí)，m的取值范圍是[$\frac{1}{{e}^{2}}$，+∞）；…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化思想，導(dǎo)數(shù)的基本應(yīng)用，函數(shù)恒成立，綜合性較強(qiáng)，難度較大．