Question

10．已知球的直徑為20，當(dāng)它的內(nèi)接正四棱錐體積最大時(shí)，該四棱錐的高為$\frac{40}{3}$．

Answer 1

分析 先設(shè)正四棱錐S-ABCD的底面邊長(zhǎng)等于a，底面到球心的距離等于x，得到x與a，R之間的關(guān)系，又正四棱錐的高為h=R+x，從而得出正四棱錐體積關(guān)于x函數(shù)表達(dá)式，最后利用基本不等式求出這個(gè)正四棱錐體積的最大值即可

解答 解：設(shè)正四棱錐S-ABCD的底面邊長(zhǎng)等于a，底面到球心的距離等于x
則：x²+（$\frac{\sqrt{2}}{2}$a）²=100
而正四棱錐的高為h=10+x
故正四棱錐體積為：
V（x）=$\frac{1}{3}$a²h=$\frac{1}{3}$（200-2x²）（10+x）=$\frac{2}{3}$（100-x²）（10+x）=$\frac{1}{3}$（20-2x）（10+x）（10+x）
≤$\frac{1}{3}$×（$\frac{20-2x+10+x+10+x}{3}$）³=$\frac{64000}{81}$
當(dāng)且僅當(dāng)x=$\frac{10}{3}$時(shí)，等號(hào)成立
那么正四棱錐的高為h=$\frac{40}{3}$．
故答案為：$\frac{40}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了球內(nèi)接多面體、棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積等基本知識(shí)，考查了空間想象力，屬于中檔題．